数学 において, ディリクレの畳み込み （英: Dirichlet convolution, divisor convolution）はペーター・グスタフ・ディリクレ によって定義された数論的関数 に対して定義される二項演算 である。この演算は数論 において重要な役割を果たす。
f
,
g
:
N
→
C
{\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }
整数 から複素数 への数論的関数であるとき, Dirichletの畳み込み f ∗ g
(
f
∗
g
)
(
n
)
=
∑
d
∣
n
f
(
d
)
g
(
n
d
)
=
∑
a
b
=
n
f
(
a
)
g
(
b
)
{\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)}
ここで総和は n の全ての正の約数 d を渡る. 言い換えると,全ての積が n となる正の整数の異なる組 (a , b ) を渡る.
この積はリーマンゼータ関数 のようなディリクレ級数 の研究から自然に現れ, 二つのディリクレ級数の積の係数を表す:
(
∑
n
≥
1
f
(
n
)
n
s
)
(
∑
n
≥
1
g
(
n
)
n
s
)
=
(
∑
n
≥
1
(
f
∗
g
)
(
n
)
n
s
)
.
{\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}
数論的関数の集合は可換環 となる。この環をディリクレ環 という, 演算は点ごと に定義され, f + g (f + g )(n ) = f (n ) + g (n ) , 乗法はディリクレの畳み込みで定義される. 乗法単位元は ε (n ) = 1n = 1ε (n ) = 0n > 1単位関数 ε である. この環の可逆元 (単元) はf (1) ≠ 0f である.
特に, ディリクレの畳み込みは結合法則 が成り立つ,
(
f
∗
g
)
∗
h
=
f
∗
(
g
∗
h
)
,
{\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}
和に対し分配法則 ,
f
∗
(
g
+
h
)
=
f
∗
g
+
f
∗
h
{\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}
交換法則 が成立し,
f
∗
g
=
g
∗
f
{\displaystyle f*g=g*f}
単位元が存在する.
f
∗
ε
{\displaystyle f*\varepsilon }
ε
∗
f
=
f
{\displaystyle \varepsilon *f=f}
さらに,
f
(
1
)
≠
0
{\displaystyle f(1)\neq 0}
f
{\displaystyle f}
f
∗
f
−
1
=
ε
{\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
f
{\displaystyle f}
ディリクレ逆元 と呼ぶ.
乗法的関数 のディリクレの畳み込みも乗法的で, 任意の恒等的に0でない乗法的関数はディリクレ逆元を持つ. 言い換えると, 乗法的関数はディリクレ環の可逆元の部分集合をなす. ただし、乗法的関数同士の和は乗法的関数ではない(
(
f
+
g
)
(
1
)
=
f
(
1
)
+
g
(
1
)
=
2
≠
1
{\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}
他の数論的関数の演算には点ごとに積を取るというものがある: fg (fg )(n ) = f (n ) g (n ) で定義される. 完全乗法的関数
h
{\displaystyle h}
h
{\displaystyle h}
(
f
∗
g
)
h
=
(
f
h
)
∗
(
g
h
)
{\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}
これらの式では、以下の数論的関数 を使用する:
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
(
1
)
=
1
{\displaystyle \varepsilon (1)=1}
ε
(
n
)
=
⌊
1
n
⌋
{\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }
1
{\displaystyle 1}
1
(
n
)
=
1
{\displaystyle 1(n)=1}
n
{\displaystyle n}
1
{\displaystyle 1}
リーマンゼータ関数 なので
ζ
{\displaystyle \zeta }
表記する 著者もいる.)
1
C
{\displaystyle 1_{C}}
C
⊂
N
{\displaystyle C\subset \mathbb {N} }
指示関数 :
1
C
(
n
)
=
1
{\displaystyle 1_{C}(n)=1}
n
∈
C
{\displaystyle n\in C}
Id
{\displaystyle {\text{Id}}}
Id
(
n
)
=
n
{\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}
Id
k
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}}
k 乗関数:
Id
k
(
n
)
=
n
k
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}
以下のような関係式が成立する:
1
∗
μ
=
ε
{\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }
1
{\displaystyle 1}
メビウス関数 . したがって:
g
=
f
∗
1
{\displaystyle g=f*1}
f
=
g
∗
μ
{\displaystyle f=g*\mu }
メビウスの反転公式
σ
k
=
Id
k
∗
1
{\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}
約数関数 σ k
σ
=
Id
∗
1
{\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}
σ = σ 1
τ
=
1
∗
1
{\displaystyle \tau =1*1}
τ (n ) = σ 0 メビウスの反転公式をσ k σ , τ に用いて
Id
k
=
σ
k
∗
μ
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }
Id
=
σ
∗
μ
{\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }
1
=
τ
∗
μ
{\displaystyle 1=\tau *\mu }
ϕ
∗
1
=
Id
{\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}
オイラーのφ関数 φ
ϕ
=
Id
∗
μ
{\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }
σ
=
ϕ
∗
τ
{\displaystyle \sigma =\phi *\tau }
ϕ
∗
1
=
Id
{\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}
1 を畳み込むことで得られる
λ
∗
|
μ
|
=
ε
{\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }
リウヴィル関数 λ
λ
∗
1
=
1
Sq
{\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}
Id
k
∗
(
Id
k
μ
)
=
ε
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }
τ
3
∗
1
=
(
τ
∗
1
)
2
{\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}
J
k
∗
1
=
Id
k
{\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}
(
Id
s
J
r
)
∗
J
s
=
J
s
+
r
{\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}
Λ
∗
1
=
log
{\displaystyle \Lambda *1=\log }
フォン・マンゴルト関数
Λ
{\displaystyle \Lambda }
|
μ
|
∗
1
=
2
ω
,
{\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}
プライムオメガ関数
ω
(
n
)
{\displaystyle \omega (n)}
n の異なる素因数の個数)
Ω
∗
μ
=
1
P
{\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}
素数冪 の特性関数
ω
∗
μ
=
1
P
{\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}
1
P
(
n
)
↦
{
0
,
1
}
{\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}
この最後の恒等式は、素数計数関数 が以下の和関数で与えられることを示している。
π
(
x
)
=
∑
n
≤
x
(
ω
∗
μ
)
(
n
)
=
∑
d
=
1
x
ω
(
d
)
M
(
⌊
x
d
⌋
)
{\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}
ここで
M
(
x
)
{\displaystyle M(x)}
メルテンス関数 （1からnまでμ(k)を足したもの）そして
ω
{\displaystyle \omega }
[ 1]
数論的関数
f
{\displaystyle f}
g
=
f
−
1
{\displaystyle g=f^{-1}}
g
(
n
)
{\displaystyle g(n)}
g
(
m
)
{\displaystyle g(m)}
m
<
n
{\displaystyle m<n}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
(
f
∗
g
)
(
1
)
=
f
(
1
)
g
(
1
)
=
ε
(
1
)
=
1
{\displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1}
g
(
1
)
=
1
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(1)=1/f(1)}
f
{\displaystyle f}
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)=0}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
(
f
∗
g
)
(
2
)
=
f
(
1
)
g
(
2
)
+
f
(
2
)
g
(
1
)
=
ε
(
2
)
=
0
{\displaystyle (f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0}
g
(
2
)
=
−
(
f
(
2
)
g
(
1
)
)
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
(
f
∗
g
)
(
3
)
=
f
(
1
)
g
(
3
)
+
f
(
3
)
g
(
1
)
=
ε
(
3
)
=
0
{\displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0}
g
(
3
)
=
−
(
f
(
3
)
g
(
1
)
)
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}
n
=
4
{\displaystyle n=4}
(
f
∗
g
)
(
4
)
=
f
(
1
)
g
(
4
)
+
f
(
2
)
g
(
2
)
+
f
(
4
)
g
(
1
)
=
ε
(
4
)
=
0
,
{\displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0,}
g
(
4
)
=
−
(
f
(
4
)
g
(
1
)
+
f
(
2
)
g
(
2
)
)
/
f
(
1
)
,
{\displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1),}
一般に
n
>
1
{\displaystyle n>1}
g
(
n
)
=
−
1
f
(
1
)
∑
d
∣
n
d
<
n
f
(
n
d
)
g
(
d
)
.
{\displaystyle g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}
ディリクレ逆元は以下のような性質を持つ:
関数 f がディリクレ逆元を持つことと f (1) ≠ 0
乗法的関数 のディリクレ逆元も乗法的.ディリクレ畳み込みのディリクレ逆元はその関数の逆元の畳み込み:
(
f
∗
g
)
−
1
=
f
−
1
∗
g
−
1
{\displaystyle (f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}}
乗法的関数 f が完全乗法的関数であることと
f
−
1
(
n
)
=
μ
(
n
)
f
(
n
)
{\displaystyle f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)}
f が完全乗法的関数 のとき
g
(
1
)
≠
0
{\displaystyle g(1)\neq 0}
⋅
{\displaystyle \cdot }
(
f
⋅
g
)
−
1
=
f
⋅
g
−
1
{\displaystyle (f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}}
数論的関数
ディリクレ逆元:
定数関数 1
メビウス関数 μ
n
α
{\displaystyle n^{\alpha }}
μ
(
n
)
n
α
{\displaystyle \mu (n)\,n^{\alpha }}
リウヴィル関数 λ
メビウス関数の絶対値 |μ |
オイラーのφ関数
φ
{\displaystyle \varphi }
∑
d
|
n
d
μ
(
d
)
{\displaystyle \sum _{d|n}d\,\mu (d)}
一般化約数関数
σ
α
{\displaystyle \sigma _{\alpha }}
∑
d
|
n
d
α
μ
(
d
)
μ
(
n
d
)
{\displaystyle \sum _{d|n}d^{\alpha }\mu (d)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}
任意の数論的関数 f のディリクレ逆関数に対する厳密で非再帰的な公式は、約数和等式で与えられる. f のディリクレ逆関数のより自然数の分割 のような考えを用いた式は次式で与えられる:
f
−
1
(
n
)
=
∑
k
=
1
Ω
(
n
)
{
∑
λ
1
+
2
λ
2
+
⋯
+
k
λ
k
=
n
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
k
|
n
(
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
k
)
!
1
!
2
!
⋯
k
!
(
−
1
)
k
f
(
λ
1
)
f
(
λ
2
)
2
⋯
f
(
λ
k
)
k
}
.
{\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.}
次の等式は、可逆数論的関数 f のディリクレ逆関数をコンパクトに表現する方法である:
f
−
1
=
∑
k
=
0
+
∞
(
f
(
1
)
ε
−
f
)
∗
k
f
(
1
)
k
+
1
{\displaystyle f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}
ここで
(
f
(
1
)
ε
−
f
)
∗
k
{\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}}
f
(
1
)
ε
−
f
{\displaystyle f(1)\varepsilon -f}
k 回畳み込んだものを意味する. 固定された自然数
n
{\displaystyle n}
k
>
Ω
(
n
)
{\displaystyle k>\Omega (n)}
(
f
(
1
)
ε
−
f
)
∗
k
(
n
)
=
0
{\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0}
f
(
1
)
ε
(
1
)
−
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0}
n の k 個の正の整数の積による表現法は必ず 1 を含むことより）. よって右辺の級数は任意の正の整数 n に対し収束する.
f が数論的関数ならば母関数 としてのディリクレ級数 が次のように定義される:
D
G
(
f
;
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
は、級数が収束する複素数 引数 s （もしあれば）が定義域である。ディリクレ級数の乗算は,以下の意味でディリクレ畳み込みと互換性がある:
D
G
(
f
;
s
)
D
G
(
g
;
s
)
=
D
G
(
f
∗
g
;
s
)
{\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}
左辺の両級数が収束するすべてのsについて,少なくとも一方は絶対的に収束する（左辺の両級数の収束は右辺の収束を意味しないことに注意！）. これは，ディリクレ級数をフーリエ変換 と考えれば，畳み込み定理に似ている.
畳み込みの約数を単約数 , 二重単約数 , または無限重単約数 に制限することで、ディリクレ畳み込みと多くの特徴を共有する同様の可換演算が定義される（メビウス反転公式の存在, 乗法的性質の持続、トーシェントの定義, 関連する素数上のオイラー型積公式など）.
ディリクレ畳み込みは、順序集合 の隣接代数 に対する畳み込み積の特殊な場合であり, この場合, 被整除性で整列された正整数の順序集合である。
^ Schmidt, Maxie. Apostol's Introduction to Analytic Number Theory
Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001 Chan, Heng Huat (2009). Analytic Number Theory for Undergraduates . Monographs in Number Theory. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4271-36-3 Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory . Cambridge tracts in advanced mathematics. 97 . Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 38. ISBN 978-0-521-84903-6 Cohen, Eckford. “A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion”. Pacific J. Math. 9 (1): pp. 13–23 Cohen, Eckford (1960). “Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer”. Mathematische Zeitschrift 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473 . MR 0112861 . Cohen, Eckford. “The number of unitary divisors of an integer”. American Mathematical Monthly 67 (9): pp. 879–880 Cohen, Graeme L. (1990). “On an integers' infinitary divisors”. Math. Comp. 54 (189): 395–411. doi :10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR 0993927 . Cohen, Graeme L. (1993). “Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer”. Int. J. Math. Math. Sci. 16 (2): 373–383. doi :10.1155/S0161171293000456 . Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). “The Möbius function: generalizations and extensions”. Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6 (2): 77–128. MR 1962765 . Finch (2004年). “Unitarism and Infinitarism ”. 2015年2月22日時点のオリジナル よりアーカイブ。2024年10月14日 閲覧。 
