ノート:ビオ・サバールの法則

• ベクトルポテンシャルについてと、実用的な運用法について紹介しました。今後の方針としては量子論的なあるいは相対論的なことについて触れたいので、どなたか詳しい方がいらっしゃれば執筆を頼みます。それと、計算例の部分について円の中心から面上に移動した点での磁場など計算できればお願いします。--Shige3141 2011年3月3日 (木) 17:05 (UTC)

• 英語版の記事の一部を翻訳しました。Shige3141 2011年3月18日 (金) 15:31

• 断面積S の一様な導体中を正電荷q が速度v で運動するとき、キャリア密度をn とすると、電流面密度j は

${\boldsymbol {j}}=nq{\boldsymbol {v}}$

と表すことができる。 ここで、この電流の周りに生じる磁場Bは

$d{\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\boldsymbol {j}}\times {\boldsymbol {r}}}{|{\boldsymbol {r}}|^{3}}}Sdl$

となるが、第二項にこの正電荷が張る電場E

${\boldsymbol {E}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\boldsymbol {r}}{|{\boldsymbol {r}}|^{3}}}$

（ただし、Qは導体中の長さLの体積を流れる電荷の和である。$Q=nqSL$ このLは定数である。） を代入すると、

$d{\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}nq{\boldsymbol {v}}\times {\frac {4\pi \varepsilon _{0}}{Q}}{\boldsymbol {E}}Sdl$

となる。 ここで$Q=nqSL$であるので、

$d{\boldsymbol {B}}={\frac {\varepsilon _{0}\mu _{0}}{L}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}}dl$

さらに、

${\sqrt {\varepsilon _{0}\cdot \mu _{0}}}={\frac {1}{c}}$

であるので、

$d{\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}L}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}}dl$

が得られる。

無限に長い導体を考える場合、これを導体上の長さLの区間について積分し、L→∞の極限を取ればよい。

${\boldsymbol {B}}=\lim _{L\to \infty }\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {1}{c^{2}L}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}}dl$

これを解くと、

${\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}}$

となり、これによって導体を流れる電荷による電場と、電流によって生じる磁場を関連付けることができる。 (--Shige3141 2011年11月11日 (金) 06:46 (UTC)