ノート:ペアノの公理

公理の記述

ペアノの公理の記述についてですが、自然数の記事で記述されている形式に変更することを提案します。各記事の間で首尾一貫した記述になっている方が無用な混乱を招かずにすむと思うためです。現行のペアノの公理でなく、自然数での記述にあわせるべきだと思うのは、以下の理由によります。

個人的にそちらのほうが読みやすい
ペアノ自身の公理系と公理の数が同じになる
英語版自然数、英語版ペアノの公理の記述が両方とも自然数での記述と同等のものである

--Zaraki 2004年10月17日 (日) 12:11 (UTC)[返信]

変更しました。--Zaraki 2004年10月24日 (日) 11:50 (UTC)[返信]

Zaraki様、本記事をよんで勉強になりました。感謝です。Sina 2004年10月24日 (日) 13:51 (UTC)[返信]

ほかの百科事典

ペアノの公理の記述についてですが、ほかの百科事典では自然数は0から始まるのではなく1から始まると記述されています。確か高等学校でも自然数は1からだと勉強した記憶があります。

ペアノの公理 - Yahoo!百科事典で検索　日本大百科全書執筆者：足立恒雄　

http://100.yahoo.co.jp/detail/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86/

どうでしょうか？ --221.190.55.226 2010年7月20日 (火) 14:13 (UTC)[返信]

どちらもあります。例えば MathWorld をご覧ください。自然数の項も御参照ください。蛇足ですが「日本の学校で学ぶことが唯一正しい」と思い込むことだけは避けるよう努めて頂ければ、と存じます。--白駒 2010年7月20日 (火) 23:17 (UTC)[返信]

◆（追記）その足立恒雄の著書『数―体系と歴史』ISBN 978-4254110883 を確認したところ、0 を自然数に含めています。p. 22 で、ラッセルが「教養のある人は 0 を自然数に含める」とか何とか言ったという話を紹介し、「われわれも教養人として 0 を自然数と考えよう」と冗談めかして書いています。Yahoo の方は、他の方に合わせるために 1 から始めていると推測されます（例えば「自然数」の項の執筆者は別の方）。もしくは、小学館は参考書なども多く出版していますので、編集部からそれに合わせるよう要請があったのかもしれません。--白駒 2010年7月21日 (水) 08:59 (UTC)[返信]

存在と一意性の節に関して

「どんな二つのペアノシステムも同型であるので、この意味で、ペアノの公理を満たすシステムは唯一つ存在する、と言える。」との記述がありますが、PAには同型でないモデル（超準モデル）が無数にあるのではないでしょうか。--AT（会話） 2015年8月20日 (木) 03:46 (UTC)[返信]

英語版によると数学的帰納法の公理が二階論理で記述されていればどんな二つのペアノシステムも同型のようです (en:Peano axioms#Models)．日本語版のその公理（もし X の部分集合 A が……）は二階なので一意性は言えると思います．新規作成 (利用者名)（会話） 2015年8月21日 (金) 22:26 (UTC)[返信]

なるほど、数学的帰納法が一階の公理スキーマではなく二階で定式化されているからですね。勉強になります。その旨で書き直してみたいと思います。ありがとうございました。--AT（会話） 2015年8月22日 (土) 01:36 (UTC)[返信]

一応最低限の修正は行いましたが、もっと大胆に書き換える必要があるかもしれないと思いました。ペアノの公理が一階で定義されているのに対し、ペアノシステムとかいうものは二階で定義されていて混乱を生む状況となっています。ペアノシステムは過去の版からの翻訳のようですが、現在の版にはそれに関する記述が一切なく、またペアノの公理それ自体ではなくその一般化の「存在と一意性」を論じているのも少し変だと思うので、ガッサリと削るか補足的な記述に留めたほうが良いかもしれません。--AT（会話） 2015年8月22日 (土) 02:25 (UTC) 修正 - --AT（会話） 2015年8月22日 (土) 02:32 (UTC)[返信]

英語版に従い、ペアノシステムおよびその存在などについては「モデル」の節を設けてそこに記述するのはどうでしょうか。 --shinsa82（会話） 2021年1月16日 (土) 17:00 (UTC)[返信]

原典について

日本語版 Wikipedia では出典を1891年の論文 "Sul concetto di numero" ("On the concept of number") に置いている記事が多いようですが、1889年の書籍 "Arithmetices principia, nova methodo exposita" ("The principles of arithmetic presented by a new method") のほうですでにほぼ完成形と言えるので、「ペアノの公理」が帰属するものは1889年の書籍とするのがよいのではないでしょうか。必要なら1891年の論文も参考文献に追加するのがよいと思います。英語版記事では1889年のものを出典としています。 --shinsa82（会話） 2021年1月16日 (土) 16:58 (UTC)[返信]
「ペアノの公理」の記事なので、できるだけ原典に近いスタイルのもの (自然数が1から始まり、公理が9個あり、帰納法が2階言語で表現されているもの) を先頭に置くのがよいと思いました。なお、数学的帰納法の原理については、1889年と1891年、どちらの文献も集合を用いた2階の言語で記述されています。 --shinsa82（会話） 2021年1月16日 (土) 16:58 (UTC)[返信]