ノート:算術の基本定理

補題の必要性

無駄に版を重ねてしまいましたので、念のため、ここに説明を記しておきます。算術の基本定理を証明するためには、補題

p\mid ab\Rightarrow p\mid a{\mbox{ or }}p\mid b

が鍵となります。このことは、すでに参考文献にあがっている『初等整数論講義』からも読み取れますし、環論の基礎を学べばごく基本的なことでもあります。Tawarama さんは、「自分の証明は補題を要求しない」とおっしゃっていますが、やはり暗に補題を用いています。p₁ が q₁ と q₂ の両方を割らないとしても、その積 q₁ q₂ は割るかもしれません。そのようなことがない、と保証しているのが件の補題です。

理解の助けとするために、素因数分解の一意性が成り立たない例を挙げておきましょう。 ${\sqrt {10}}$ を使ってよいとすると、9 は二通りの分解

3^{2}=(7+2{\sqrt {10}})(7-2{\sqrt {10}})

を持ちます。3, 7+2*sqrt(10), 7-2*sqrt(10) はこれ以上有意に分解できない「素数」です。3 は 7+2*sqrt(10) も 7-2*sqrt(10) も割り切りませんが、その積 9 を割り切ります。--白駒 2010年10月22日 (金) 11:01 (UTC)[返信]

ちょっと良く分かりません。保証してもらわなくても、割り切れないものは割り切れないと思うのですが。Tawarama 2010年10月22日 (金) 15:17 (UTC)[返信]

私には、上の説明以上に丁寧に説明する能力も暇もありません。すでに本文に書いた通り（あなたに消されましたが）、ガウス以前は証明の必要性を認識する者はいなかったのですから、素人さんに分からなくても仕方ないのかもしれません。そのような認識不足により、ラメがフェルマーの最終定理を証明したと勘違いした歴史もあります。分からないのでしたら下手に手を出さないで下さい、とだけ申し上げておきます。--白駒 2010年10月22日 (金) 15:40 (UTC)[返信]

用いてないと思いますよ。何となれば補題が成り立たないとしましょう。それでもp₁ がq₁ q₂を割り切らない事実は変わりません。Tawarama 2010年10月22日 (金) 19:22 (UTC)[返信]

断言しますが、用いています。「事実だから」というのは理由になっておらず、論理や証明の何たるかが分かっておられないようです。えーと、記事がこのままなのは大変困りものなので、別の切り口から説得を試みてみます。すでに述べたように、高木貞治などの著者は、補題を経由して定理を証明しています。それよりも、Tawarama さん独自の証明（？）を優先しなければならない理由は何でしょうか。数学者が気付いていない簡潔な証明を初めて御自分が見付けたとでも考えているのでしょうか。--白駒 2010年10月22日 (金) 21:36 (UTC)[返信]

補題の否定を仮定しましょう。これは補題を成り立たせないようなあるpとabが存在するということです。たとえそうでも、p₁ が $q_{1}q_{2}\cdots q_{l}$ を割り切らないことに影響はないでしょう。Tawarama 2010年10月22日 (金) 22:06 (UTC)[返信]

なぜ影響がないとお考えなのでしょうか。

補題の否定は、「abを割り切るような素数pであって、a,bのいずれも割り切らないようなものが存在する」ということになります。そのような素数pが存在したら、

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

が

p_{1}

で割り切れないと結論することはできません。

おそらくTawaramaさんは、「

p_{1}<q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{\ell }

のような大小関係にある素数

p_{1},q_{1},q_{2},\cdots ,q_{\ell }

に対して、

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

は

p_{1}

で割り切れない」という感覚で議論しているのではないかと推測します。しかしそのことこそ問題となっている補題から従うことです。

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

が素数

p_{1}

で割り切れるとすると、補題の主張から、

p_{1}

は

q_{1},q_{2},\cdots ,q_{\ell }

のいずれかを割り切ることになるので、ある素数

q_{i}

が自身より真に小さい素数

p_{1}

で割り切れることになり矛盾するというわけです。

しかし、そもそも

「

p_{1}

<

q_{1}

としても一般性は失われない。」

というやり方自体に問題があります。

既にBuriedundergroundさんが指摘しているように、2つの表示を取った時点では、

p_{1}=q_{1}

という場合もありえます。

p_{i}

の中で最小のものと

q_{i}

の中で最小のものを考えるとしても、それらが等しいこともありえます。「

p_{1}=q_{1},p_{2}=q_{2},\cdots

とすべて一致しているとすると表示が一致してしまうから、どこかで

p_{i}<q_{i}

となっている」というような議論が必要です。但し、このような議論をした場合、「

p_{1}<q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{\ell }

のような大小関係にある素数

p_{1},q_{1},q_{2},\cdots ,q_{\ell }

に対して、

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

は

p_{1}

で割り切れない」という主張に結びつけることはできません。

p_{1}

は

q_{1}

よりは真に小さいかもしれませんが、他の

q_{2},\cdots ,q_{\ell }

との大小関係はわからないからです。ということは、

p_{1}

が

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

を割り切らないと結論することはできないのです。大小関係だけで割り切れるかどうかを判定する方法に無理があるのです。--Henon 2010年10月23日 (土) 02:48 (UTC)[返信]

はじめに、コメントどうもありがとうございました。

僕の主張を正確に述べると次のようになります。

少なくとも二通りの「素数の積」として表すことができる自然数が存在すると仮定し、そのような自然数のうち最小のもの n が

n=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}=q_{1}q_{2}\cdots q_{l}(p_{1}\leq p_{2}\leq \cdots \leq p_{k},q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{\ell })

と異なる「素数の積」に表されるとする。

p_{1}=q_{1}

とするとnより小さい数

n'=p_{2}\cdots p_{k}=q_{2}\cdots q_{l}

が二通りに現わすことが出来、n が最小であるという仮定に矛盾してしまう。故に、

p_{1}<q_{1}

となるように置くことが出来る。このとき、

q_{1}q_{2}\cdots q_{l}

は

p_{1}

で割り切れない。

というものです。おっしゃるように補題の否定は、「abを割り切るような素数pであって、a,bのいずれも割り切らないようなpとabが存在する」というものです。これはすべてのp,a,bに対しての命題ではないので、 $q_{1}q_{2}\cdots q_{l}$ は $p_{1}$ で割り切れないということはそれでも言えるでしょう。Tawarama 2010年10月23日 (土) 03:33 (UTC)[返信]

大小関係の設定と最小性の利用という点では改善されたように思います。（証明としては最低限そこまでは記述するべきだと考えます。）

問題は後段の「

p_{1}

で割り切れない」ことの根拠です。「すべてのp,a,bに対しての命題ではない」ということがなぜ「

p_{1}

で割り切れない」という判断と独立なのかが理解できません。

大小関係から、

p_{1}

が

q_{1},q_{2},\cdots ,q_{\ell }

という素数たちを割り切らないことはいえます。しかし、「abを割り切るような素数pであって、a,bのいずれも割り切らないようなpとabが存在する」場合、

p_{1}

が積

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

を割り切らないと結論することができないのではないですか。

p_{1}=p

で、

q_{1}=a,q_{2}=b

というような形だったら困るわけですから。--Henon 2010年10月23日 (土) 04:24 (UTC)[返信]

それでは $q_{1}q_{2}\cdots q_{l}$ は $p_{1}$ で割り切れるとしましょう。大小関係から、 $p_{1}$ が $q_{1},q_{2},\cdots ,q_{\ell }$ という素数たちを割り切らないことはいえます。その商 $(q_{1}/p_{1})q_{2}\cdots q_{l}$ は整数になりません。Tawarama 2010年10月23日 (土) 05:06 (UTC)[返信]

整数ではない有理数であっても、整数をかけたものが整数になることがありえます。

q_{1}/p_{1}

は整数でない有理数ですが、

q_{2}

をかけた

(q_{1}/p_{1})q_{2}

が整数にならないということの根拠は何ですか？--Henon 2010年10月23日 (土) 05:39 (UTC)[返信]

整数であるとし、 $(q_{1}/p_{1})q_{2}=m$ としましょう。mはnより小さいのだから一通りの素数の積に現されます。 $m=r_{1}r_{2}\cdots r_{t}$ .このとき、 $q_{1}q_{2}=p_{1}r_{1}r_{2}\cdots r_{t}$ となり、 $p_{1}<q_{1}$ なので矛盾。Tawarama 2010年10月23日 (土) 06:41 (UTC)[返信]

何に矛盾しているのでしょうか。--Henon 2010年10月23日 (土) 08:09 (UTC)[返信]

$q_{1}q_{2}=p_{1}r_{1}r_{2}\cdots r_{t}$ という式が成り立つのはおかしい。左辺の最小素因子は $q_{1}$ で、右辺のは $p_{1}$ かそれ以下.

$p_{1}=q_{1}$ が成り立たないことはすでに述べましたよね？！Tawarama 2010年10月23日 (土) 11:58 (UTC)[返信]

「

p_{1}p_{2}\cdots p_{k}=q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }

かつ

p_{1}<q_{1}

」と仮定していました。ここから、「

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}

かつ

q_{1}>p_{1}

」が導かれます。左辺の最小素因子の方が右辺の最小素因子よりも小さいと仮定していたのに、右辺の最小素因子の方が小さくなりました。これは矛盾ですか？--Henon 2010年10月23日 (土) 13:13 (UTC)[返信]

おっしゃってることの意味が分かりません。一つの等式の左辺と右辺を比較したのであって、そこへ別の式を持ってきたって無意味です。Tawarama 2010年10月23日 (土) 13:59 (UTC)[返信]

いえ、何に矛盾しているのかが理解できないということです。

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }=p_{1}r_{1}r_{2}\cdots r_{t}

という式の何が矛盾なんでしょうか。左辺の最小素因数

q_{1}

が右辺の最小素因数より大きいと何が矛盾なのでしょうか。

単に

t=k-1

で、

r_{1}=p_{2},r_{2}=p_{3},\cdots ,r_{t}=p_{k}

であり、

q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}

と書き換えただけに見えるのですが。--Henon 2010年10月23日 (土) 14:07 (UTC)[返信]

すみません、出直してきます。Tawarama 2010年10月23日 (土) 15:10 (UTC)[返信]

ユークリッドの補題を用いることは漸く理解できました。ご迷惑かけて済みませんでした。質問させていただいてよろしいでしょうか？「算術の基本定理」から「ユークリッドの補題」を証明することは可能ですか？Tawarama 2010年10月24日 (日) 02:22 (UTC)[返信]

『初等整数論講義』の補遺にある証明

高木貞治の『初等整数論講義』を見てみたら、補遺に次のような証明が紹介されていました。（ツェルメロのアイデアらしいです。）

証明：一意性を帰納的に証明する。二通りに素因数分解される最小の数をnとし、その分解を $n=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}=q_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }$ とする。nの最小性から、 $p_{i}$ たちと $q_{j}$ たちに共通の素因数は現れない。（もし現れたとすると、両辺をそれで割れば、nよりも真に小さい整数が二通りの素因数分解を持つことになる。）特に、 $p_{1}$ と $q_{1}$ は相異なるので、 $p_{1}<q_{1}$ としてよい。

このとき、各辺から $p_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }$ をひくと

$n-p_{1}q_{2}\cdots q_{\ell }=p_{1}(p_{2}\cdots p_{k}-q_{2}q_{3}\cdots q_{\ell })=(q_{1}-p_{1})q_{2}\cdots q_{\ell }>0$ となる。

これはnよりも真に小さい整数だから、nの最小性により一意的に素因数分解できる。そこで、 $q_{1}-p_{1}$ と $p_{2}\cdots p_{k}-q_{2}q_{3}\cdots q_{\ell }$ を素因数分解してやれば、nより真に小さい整数の素因数分解が2つ得られる。

他方、素因数 $p_{1}$ が現れるかどうかを考えてみると、 $p_{1}$ は $q_{2},q_{3},\cdots ,q_{\ell }$ のいずれとも異なっていた。 $q_{1}-p_{1}$ が $p_{1}$ で割り切れるとすると、 $q_{1}$ が $p_{1}$ で割り切れる。しかし $q_{1}$ は $p_{1}<q_{1}$ なる素数だからこれは矛盾である。従って右辺に素因数 $p_{1}$ は含まれない。ということは、中辺から得られる素因数分解には $p_{1}$ が含まれるにもかかわらず、右辺から得られる素因数分解には $p_{1}$ は含まれない。したがってこの2つの素因数分解は相異なる。これではnよりも真に小さい整数に二通りの素因数分解が存在することになり矛盾である。（証明終）

このようにすれば、補題の主張を介さなくても一意性の証明はできるように思われます。ちなみに一意性から補題の主張が導けると思います（が、循環論法になっているかもしれないという疑いは拭い去れません）。 a,bを素因数分解してそれらを掛け合わせたものがabの唯一つの素因数分解であり、そこにはpが含まれるのでa,bの少なくとも一方はpで割り切れます。これが少し感覚的すぎるなら、a=pa'+r,b=pb'+sと割り算をして、ab=p(pa'b'+b's+a'r)+rsとなることに着目します。abはpの倍数なので、rsがpの倍数になります。ところが、 $0\leq r,s\leq p-1$ なので、rsの素因数分解に現れる素数はp-1以下です。これは一意性に矛盾します。（証明終）

Tawaramaさんは、公理的取り扱いに興味がおありのようですが、少なくとも「どの証明においても、別のある公理を必要としているので、この定理自体を公理としてもよい」というような書き方は誤解を招くし意味も不明確なので避けた方が無難だと思います。この問題は例えば「素数」の定義をどうするかというような問題と関係していますが、私は面倒なのでそのあたりのことをここで整理しようというつもりはありません。--Henon 2010年10月24日 (日) 11:55 (UTC)[返信]

なんにも仮定しなくても出来るんですね。こんないい証明があったのか。 Henonさん、どうもありがとうございました。Tawarama 2010年10月24日 (日) 13:47 (UTC)[返信]

さっそく、英語版で上記の証明に書き換えたようですね…。なぜそんなに補題を毛嫌いするんですかね…。別証明を参考までに挙げるだけならばよいでしょうが、歴史的な観点からも、応用の面からも、原証明を記述すべきとの意見は変えません。--白駒 2010年10月24日 (日) 18:21 (UTC)[返信]

Tawaramaさんが御自分の議論にギャップがあることに気づかれたので、今回の件については終息するかと思い、あえて批判めいたことは書くまいと思っていましたが、状況があまり改善されていないので、いくつか指摘したいと思います。

なるべくギャップの少ない議論を提示するべきだと考えます。

セミナーやゼミで証明の過程を一つずつチェックしていく上のような作業をすれば、考えていた証明が誤りだったということになる場合は多々あり、それ自体は数学的営みとしては当然のことで問題だとは思いませんが、

今回Tawaramaさんの当初の記述

「どの証明においても、別のある公理を必要としているので、この定理自体を公理としてもよい」

「

p_{1}<q_{1}

としても一般性は失われない。このとき、nは

p_{1}

で割り切れなくなってしまう。」

といった記述はいささかナイーブ過ぎると思われます。

その後の白駒さんや私とのやりとりでは、Tawaramaさんの考えていた証明のアイデアが小出しにされすぎている点が問題だと感じました。

お互いの考えていることを逐一確認してチェックすることは大変な作業ですから、いきなり本文記事を編集して、既存の証明を破棄するのではなく、自分の考えていた証明の全体をなるべくギャップの小さい形でいったんノートページで提示し、補題の主張が一意性の証明にとって必要か不必要かを議論するべきだったと思います。今後は是非そのようにしていただきたいと要望しておきます。

英語版に追記された証明は劣化しています。

Tawaramaさんは、英語版のほうに

A proof of the uniqueness of the prime factorization of a given integer proceeds as follows.

Let s be the smallest natural number that can be written as (at least) two different products of prime numbers. Denote these two factorizations of s as p₁···p_m and q₁···q_n, such that

s=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}

.We can assume p₁<q₁ without loss of generality. Subtracting

p_{1}q_{2}\cdots q_{n}

from each sides, we get

s-p_{1}q_{2}\cdots q_{n}=p_{1}(p_{2}\cdots p_{m}-q_{2}q_{3}\cdots q_{n})=(q_{1}-p_{1})q_{2}\cdots q_{n}>0

. Even though this number is less than s, this equation gives us two factorizations for it. This contradicts our assumption. Therefore there can be no such s, and all natural numbers have a unique prime factorization.

といった証明を追加されたようですが、「

p_{1}<q_{1}

と仮定しても一般性を失わない」とか「相異なる2つの分解を与える」ということの根拠記述を省略しています。しかしこの2点こそが、この論証のポイントになる箇所だと私には思われます。もう少し証明の議論を正確に検討していただきたいと思います。冗長に流れることは避けるべきですが、しかし証明の最も本質的な点を強調し、かつなるべくギャップの少ない記述を旨とするべきだと考えます。

Euclidの補題を用いない証明法について。

確かにEuclidの補題を用いない証明は可能で、よくよく確認してみると英語版のAlternate proofの節にも同様の趣旨の証明が掲載されているようです。日本語版にも、そうした証明を掲載すること自体に反対するつもりはありません。しかし、それは当初のTarawamaさんの記述や英語版での記述よりは精密に記述するべきであり、せめて上で私が紹介した程度には詳しく書かないと証明になっていることを疑わせかねません。

Euclidの補題を用いない証明の方が優れているとは限らないと考えます。

整数（環）から一般の可換環を考える場合には、素数に対応する概念として「素元」というものを考えます。

その場合は、「pがabを割り切るならば、pはaまたはbの少なくとも一方を割り切る」という性質を満たす零元でも単位元でもない元pを素元と定義します。このような場合には、素元への分解が存在すれば一意的であることを保証するという意味で、整数環におけるEuclidの補題を用いる証明が直接的に一般化されます。一般化のための良い雛形であるということは軽視されるべきではないと考えます。Tarawamaさんの「なんにも仮定しなくても出来る」とか「いい証明」といった書きぶりにいささか違和感があります。

以上の観点から私は、Euclidの補題を用いる証明と用いない証明を併記することには賛成しますが、前者を削除することには到底賛成できません。原証明は削除するべきではないという白駒さんのご意見に賛成します。Tarawamaさんには是非ご再考いただく様お願いしたいと思います。--Henon 2010年10月24日 (日) 18:42 (UTC)[返信]

了解しました。その前提としていままでの話を総合すると、

算術の基本定理
除法の定理
ユークリッドの補題

の三つは同値だという事に間違いありませんか？Tawarama 2010年10月25日 (月) 10:41 (UTC)[返信]

詳しく説明する気にもなりませんが、そういう論調には全く同意しません。似た主張をする別アカウントもいましたが、結局のところ今回の騒動を起こしたのは、御自分の独自研究を宣伝したいがためでしょうか。Tawarama さんの主張はいかなる文献にも無いはずで、それは Wikipedia で言うところの独自研究でしかありません。--白駒 2010年10月25日 (月) 12:21 (UTC)[返信]

そういう論調ってどういう事でしょう？説明してもらわなくていいです。Tawarama 2010年10月25日 (月) 13:08 (UTC)[返信]

説明は要らないとのことですが、他の方向けに。まずは、ウィキペディアと関係の無い話をしようとするところ。数学的には、一意分解整域がユークリッド整域であるという主張を含むので明らかに間違いであること。以下は Tawarama さんへ問いかけなのですが、ウィキペディアに迷惑をかけているという自覚はないのでしょうか？できれば、御自覚頂いて素直に撤退して頂きたいのですが。--白駒 2010年10月25日 (月) 13:33 (UTC)[返信]

ウィキペディアって誰のことですか？　あなたが頻繁に活動して余計な電気エネルギーを浪費していること自体地球環境に迷惑です。Tawarama 2010年10月25日 (月) 14:01 (UTC)[返信]

無論、私個人のことではなく、百科事典そのものおよび適切な百科事典を作成しようとする総体を意味します。◆どうも私は Tawarama さんに嫌われてしまって対話にならないため、冷却期間としてしばらく黙ることにします。記事に対する不適切な編集が再開されるようであれば、そのとき次の対応を考えることとします。--白駒 2010年10月25日 (月) 14:12 (UTC)[返信]

ブロックのご報告

利用者:Tissues paper（会話 / 投稿記録）は多重アカウント~~（おそらく利用者:Tawarama（会話 / 投稿記録）がメイン）~~としてブロックされました。--Takatobi 2011年11月28日 (月) 10:55 (UTC)一部記述者の独自研究の内容に取り消し線。--Vigorous action （Ｔａｌｋ/History） 2011年11月28日 (月) 11:52 (UTC)[返信]