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ハイネ・カントールの定理(英語: Heine–Cantor theorem)とは、次のような定理である。
- M をコンパクトな距離空間、N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f : M → N は一様連続である。
微分積分学では次のように表現される。
定理 有界閉区間 I 上の連続関数 f : I → R は一様連続である。
実数 を任意に取る。連続性より、各 に対して は を含む の開集合である。ここで は開球を表す。 となるような たちの全体は の開被覆を成す。 はコンパクトだから有限部分被覆 が取れる。 と置く。いま について と仮定する。ある に対して である。よって三角不等式より である。ここから が分かる。すなわち である。三角不等式から が分かる。