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ハイネ・カントールの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

ハイネ・カントールの定理英語: Heine–Cantor theorem)とは、次のような定理である。

Mコンパクト距離空間N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f  : M → N は一様連続である。

微分積分学における言明

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微分積分学では次のように表現される。

定理 有界閉区間 I 上の連続関数 f : IR一様連続である。

証明

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実数 を任意に取る。連続性より、各 に対して を含む の開集合である。ここで 開球を表す。 となるような たちの全体は 開被覆を成す。 はコンパクトだから有限部分被覆 が取れる。 と置く。いま について と仮定する。ある に対して である。よって三角不等式より である。ここから が分かる。すなわち である。三角不等式から が分かる。

関連項目

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