バードの配列表記

バードの配列表記（バードのはいれつひょうき）とは、クリス・バード（英:Chris Bird）によって考案された巨大数の表記法である。これはBEAFの拡張配列表記の拡張で、歴史的にも定義的にもBEAFと同族である。^[1]

線形配列

線形配列では、バードの配列表記はBEAFと同じである。

Rule 1-1. $\{a\}=a$

Rule 1-2. $\{a,b\}=a^{b}$

Rule 2. $\{\#,1\}=\{\#\}$

Rule 3. $\{a,1\#\}=a$

Rule 4. $\{a,b,\underbrace {1,\cdots ,1} _{d},c,\#\}=\{\underbrace {a,\cdots ,a} _{d+1},\{a,b-1,\underbrace {1,\cdots ,1} _{d},c,\#\},c-1,\#\}$

Rule 5. $\{a,b,c\#\}=\{a,\{a,b-1,c,\#\},c-1\#\}$

ただし $\#$ は配列の変わらない部分を指す。

線形配列では、急増加関数で $\{\underbrace {a,\cdots ,a} _{a}\}\approx f_{\omega ^{\omega }}(a)$ と近似される。^[2]

多次元配列

多次元配列では、配列の一部を ${\acute {}}a<c>b{\textrm {'}}$ と表記する。線形配列と同様、BEAFと同じである。

Rule A1. ${\acute {}}a<0>b{\textrm {'}}={\acute {}}a{\textrm {'}}$

Rule A2. ${\acute {}}a<c>1{\textrm {'}}={\acute {}}a{\textrm {'}}$

Rule A3. ${\acute {}}a<c>b{\textrm {'}}={\acute {}}a<c-1>b[c]a<c>(b-1){\textrm {'}}$

Rule M1. $\{a,b\}=a^{b}$

Rule M2. $\{\#[m]1[n]\#\}=\{\#[n]\#\}(m<n)$ （これは上記のRule 2も含む）

Rule M3. $\{a,1\#\}=a$

Rule M4. $\{a,b[m_{1}]1[m_{2}]\cdots 1[m_{x}]c\#\}=\{a\langle m_{1}\rangle b[m_{1}]a\langle m_{2}\rangle b[m_{2}]\cdots a\langle m_{x}\rangle b[m_{x}](c-1)\#\}$

Rule M5. $\{a,b[m_{1}]1[m_{2}]\cdots 1[m_{x}]1,1,\cdots ,1,1,c\#\}=\{a\langle m_{1}\rangle b[m_{1}]a\langle m_{2}\rangle b[m_{2}]\cdots a\langle m_{x}\rangle b[m_{x}]a,a,\cdots ,1,1,c-1\#\}$

Rule M6. $\{a,b,\underbrace {1,\cdots ,1} _{d},c,\#\}=\{\underbrace {a,\cdots ,a} _{d+1},\{a,b-1,\underbrace {1,\cdots ,1} _{d},c,\#\},c-1,\#\}$

Rule M7. $\{a,b,c\#\}=\{a,\{a,b-1,c,\#\},c-1\#\}$

この配列は $[m]$ を次元セパレータとして用いている。

超次元配列

超次元配列では、括弧が $[1,1]$ のようになる。Rule M1~M7は、 $[m_{n}]$ を $[m_{n}\#]$ に置き換えること以外は同じで、Rule A3はRule A5となり、新しいRule A3とRule A4が追加される。

Rule A3. ${\grave {}}a<\#[A]1[B]\#>b{\textrm {'}}={\grave {}}<\#[B]\#>b{\textrm {'}}(A<B)$

Rule A4. ${\grave {}}a\langle 0[A_{1}]1[A_{2}]\cdots 1[A_{n}]c\#\rangle b{\textrm {'}}={\grave {}}a\langle b\langle A_{1}-1\rangle b[A_{1}]b\langle A_{2}-1\rangle b[A_{2}]\cdots b\langle A_{n}-1\rangle b[A_{n}]c-1\#\rangle b{\textrm {'}}$

A_nとBは配列で、A_i-1 は A_i の最初の引数から1を引いて、残りは等しい配列である。

二つのセパレータの順序付け

Rule A3とRule M2はよく似ているため、どのセパレーターがより高いランクなのか決定する必要がある。最初に、配列が何重にネストされたかを表す関数を $\mathrm {Lev} (A)$ と表記する。例えば、 $A=\{3,3[1[1[2]2]2]2\}$ とすると、 $\mathrm {Lev} (A)=3$ となる。つまり $[2]$ は $[1[2]2]$ にネストされていて、それも $[1[1[2]2]2]$ にネストされている。もう一つの関数、 $\mathrm {Num} (H,A)$ を、配列 $A$ 中のセパレータ $[H]$ の個数と定義する。例えば、 $A=\{3,3[1[2]1[2]1[2]2]2]2\}$ なら、 $\mathrm {Num} (2,A)=3$ 。

$[A]$ と $[B]$ のどちらが優位なのかを決定する方法は、次のように表現される。

Step 1. $[A_{1}]=[A],[A_{2}]=[A_{1}],[B_{1}]=[B],[B_{2}]=[B_{1}]$ とする。
Step 2.もし $\mathrm {Lev} (A)>\mathrm {Lev} (B)$ なら、 $[A]>[B]$ 、 $\mathrm {Lev} (A)<\mathrm {Lev} (B)$ なら、 $[A]<[B]$ とする。もし ${\displaystyle \mathrm {Lev} (A)=\mathrm {Lev} (B)>0}$ なら、Step 3へ、それ以外はStep 6へ。
Step 3. $[A*]$ と $[B*]$ をそれぞれ配列 $[A_{2}]$ と $[B_{2}]$ の最高位のセパレータとする。もし ${\displaystyle [A*]>\displaystyle [B*]}$ なら ${\displaystyle [A]>\displaystyle [B]}$ 、 ${\displaystyle [A*]<\displaystyle [B*]}$ なら ${\displaystyle [A]<\displaystyle [B]}$ 、それ以外は $[H]=[A*]=[B*]$ としStep 4へ。
Step 4.もし $\mathrm {Num} (H,A_{2})>\mathrm {Num} (H,B_{2})$ なら、 $[A]>[B]$ 、 $\mathrm {Num} (H,A_{2})<\mathrm {Num} (H,B_{2})$ なら、 $[A]<[B]$ 、それ以外はStep 5へ。
Step 5. 文字列 $A_{2}$ と $B_{2}$ から、 $[H]$ のセパレータとその前の引数を削除する。
Step 6.これまでのルールで、 $A_{2}$ と $B_{2}$ は $[a]$ と $[b]$ ( $a$ と $b$ は単一の整数)の形になっているはずである。もし $[a]<[b]$ なら $[A]<[B]$ 、 $[a]>[b]$ なら ${\displaystyle [A]>\displaystyle [B]}$ 、それ以外はStep 7へ。
Step 7. $A_{1}$ と $B_{1}$ の最後の引数とその前のセパレータをすべて消去する。もし $A_{1}$ と $B_{1}$ がどちらも空ならば $[A]=[B]$ 、それ以外はStep 2に戻る。^[2]