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フォワード測度 （フォワードそくど、英 : forward measure ）とは、数理ファイナンス において、リスク中立測度 と絶対連続 である価格付けの測度である。しかし、ニュメレール （英語版 ） T である債券 が用いられている（特に満期を明示して T –フォワード測度と言う事も多い）。フォワード測度の利用はファルシド・ジャムシディアン （英語版 ） 債券オプション （英語版 ） [ 1]
以下の記述はMusiela and Rutkowski & (2004) に基づく。
まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。
B
(
T
)
=
exp
(
∫
0
T
r
(
u
)
d
u
)
{\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}
更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。
D
(
T
)
=
1
/
B
(
T
)
=
exp
(
−
∫
0
T
r
(
u
)
d
u
)
{\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}
もし
Q
∗
{\displaystyle Q_{*}}
Q
T
{\displaystyle Q_{T}}
ラドン–ニコディム微分 として以下のように与えられる。
d
Q
T
d
Q
∗
=
1
B
(
T
)
E
Q
∗
[
1
/
B
(
T
)
]
=
D
(
T
)
E
Q
∗
[
D
(
T
)
]
.
{\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}
上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B (t ) から満期 T の債券 P (t ,T ) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が
P
(
t
,
T
)
=
E
Q
∗
[
B
(
t
)
B
(
T
)
|
F
(
t
)
]
=
E
Q
∗
[
D
(
T
)
D
(
t
)
|
F
(
t
)
]
{\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]}
と書けるならば（
F
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}
t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、
d
Q
T
d
Q
∗
=
B
(
0
)
P
(
T
,
T
)
B
(
T
)
P
(
0
,
T
)
{\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}}
と書ける。この式より、T –フォワード測度はニュメレール （英語版 ） T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。
より詳細な議論についてはBrigo and Mercurio & (2006) を参照せよ。
"フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下で先渡価格 （英語版 ） マルチンゲール となることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、German & (1989) によって最初に見出された[ 2]
例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。
S
(
t
)
D
(
t
)
=
E
Q
∗
[
D
(
T
)
S
(
T
)
|
F
(
t
)
]
.
{\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}
先渡価格は
F
S
(
t
,
T
)
=
S
(
t
)
P
(
t
,
T
)
{\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}}
F
S
(
T
,
T
)
=
S
(
T
)
{\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}
d
Q
T
d
Q
∗
{\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}}
F
S
(
T
,
T
)
=
S
(
T
)
{\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}
F
S
(
t
,
T
)
=
E
Q
∗
[
D
(
T
)
S
(
T
)
|
F
(
t
)
]
D
(
t
)
P
(
t
,
T
)
=
E
Q
T
[
F
S
(
T
,
T
)
|
F
(
t
)
]
E
Q
∗
[
D
(
T
)
|
F
(
t
)
]
D
(
t
)
P
(
t
,
T
)
{\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}}
となる。最後の項は債券価格の定義より1と等しいので以下が得られる。
F
S
(
t
,
T
)
=
E
Q
T
[
F
S
(
T
,
T
)
|
F
(
t
)
]
.
{\displaystyle F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}
^ Jamshidian, Farshid (1989), “An Exact Bond Option Pricing Formula” , The Journal of Finance 44 (1): 205–209, doi :10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x , JSTOR 2328284 , https://jstor.org/stable/2328284 ^ Geman, Helyette, “The Importance of Forward Neutral Probability in a Stochastic Approach of Interest Rates”, Working paper, ESSEC
Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006), Interest Rate Models — Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2 ed.), Springer Verlag, ISBN 978-3-540-22149-4 Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2004), Martingale Methods in Financial Modelling (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi :10.1007/b137866 , ISBN 978-3-540-20966-9 
![{\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab61192c27476ddc07f715b3ce6fddc595db8ef)
![{\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14171a3a523de7d59ef41ade8a99040e64971ab7)
![{\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3d45b934132d7bfc69291cff9f4e0c6ddb6872)
![{\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d936636d20fe34dff68bd71216fef320bb74b556)
![{\displaystyle F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bfea556764a7bd9fd85e492c294dd57db3b785)