フリードバーグ・ナンバリング

フリードバーグ・ナンバリング（英: Friedberg numbering）は帰納的関数や帰納的可算集合の単射なナンバリング（枚挙）をいう。

このようなナンバリングの存在は1958年にリチャード・フリードバーグによって0'-優先法を用いて示された（Friedberg, 1958）。マルティン・クンマーは優先法を用いない構成法を与えた（Kummer, 1990）。

性質

Padding lemma により アクセプタブル・ナンバリングは単射ではない。もっといえば任意の帰納的関数は可算無限個の指標を持つ。したがってフリードバーグ・ナンバリングはアクセプタブルでない。

Smn定理の成立するナンバリングはアクセプタブルである。したがってフリードバーグ・ナンバリングに対してはSmn定理が成立しない。クリーネの再帰定理も同様。このことを見るためにフリードバーグ・ナンバリング $\varphi$ に対して再帰定理が成立すると仮定しよう。そこで $f(x)=x+1$ なる全域帰納的関数を考える。すると再帰定理より $\varphi _{e}=\varphi _{f(e)}$ なる自然数 $e$ が存在するはずである。ところが対応 $i\mapsto \varphi _{i}$ は単射であるから $e=f(e)$ でなければならない。すなわち $e=e+1$ が成り立つ。これは不合理。

アクセプタブル・ナンバリングに対してはライスの定理が成立する。例えば2つの自然数が同じ関数の指標であるかは決定不能である。ところがフリードバーグ・ナンバリングは単射なので、2つの自然数が同じ関数の指標であるかは決定可能である。したがってフリードバーグ・ナンバリングに対してはライスの定理が成立しない。

ナンバリング（の同値類）の全体は還元可能性によって上半束の構造を持つ。これをロジャース半束（英: Rogers' semilattice）という。いま $\varphi$ をフリードバーグ・ナンバリングとする。また $\psi$ を $\varphi$ に還元可能なナンバリング、$f$ をその還元関数とする。すなわち $\psi _{i}=\varphi _{f(i)}$ である。そこで $g(i)=\mu j.(f(j)=i)$ なる帰納的関数を考える。 $\varphi$ は全単射であること、また $\psi$ は全射であることより、$f$ は全射でなければならない。ゆえに $g$ は全域的である。 $\psi _{g(i)}=\varphi _{f(g(i))}=\varphi _{i}$ であるから、 $\varphi$ は $\psi$ に還元可能である。 したがって $\varphi$ は還元可能性に関して極小である。

標準的なナンバリングからフリードバーグの方法で得られるフリードバーグ・ナンバリングのほかに、還元可能性の意味で同値でない別のナンバリングが存在する（Pour-El, 1964）。したがってロジャース半束は束ではない。というのも、このことと上の結果とを考え合わせると、比較不能な2つの極小元が存在することになり、それらの交わり（下限）は存在しないからである。

関連項目

• ナンバリング
• ゲーデル数

参考文献

• Nigel Cutland (1980), Computability: An Introduction to Recursive Function Theory, Cambridge University Press. ISBN 9780521294652.
• Richard M. Friedberg (1958), Three Theorems on Recursive Enumeration. I. Decomposition. II. Maximal Set. III. Enumeration Without Duplication, Journal of Symbolic Logic 23:3, pp. 309–316.
• Martin Kummer (1990), An easy priority-free proof of a theorem of Friedberg, Theoretical Computer Science 74(2), pp. 249-251.
• Marian B. Pour-El (1964), Gödel Numberings Versus Friedberg Numberings, Proceedings of the American Mathematical Society 15(2), pp. 252-256.
• Nikolaj K. Vereščagin and A. Shen (2003), Computable Functions, American Mathematical Soc.

外部リンク

• Institute of Mathematics