ベクトル測度

数学の分野におけるベクトル測度（ベクトルそくど、英: vector measure）とは、ある集合族上で定義される、ある特定の性質を備えたベクトル値関数である。非負実数値のみを取る測度の概念の一般化である。

定義と第一の帰結

集合体 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ とバナッハ空間 $X$ が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、${\mathcal {F}}$ 内の任意の互いに素な集合 $A$ と $B$ に対して

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

が成り立つような関数 $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ のことを言う。

ベクトル測度 $\mu$ が可算加法的であるとは、${\mathcal {F}}$ 内の任意の互いに素な集合の列 $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ でその合併が　${\mathcal {F}}$ に含まれるようなものに対して、

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$

が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 $X$ のノルムについて収束するものとする。

加法的ベクトル測度 $\mu$ が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ に対して

$\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\quad \quad \quad (*)$

が成り立つことである。ここで $\|\cdot \|$ は $X$ のノルムである。

σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 $[0,\infty ]$、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。

例

区間 $[0,1]$ およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族 ${\mathcal {F}}$ から成る集合体を考える。そのような任意の集合 $A$ に対して

$\mu (A)=\chi _{A}\,$

を定義する。ここで $\chi$ は $A$ の指示関数である。この $\mu$ がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。

• ${\mathcal {F}}$ から L^p 空間 $L^{\infty }([0,1])$ への関数と見なされたとき、$\mu$ は可算加法的ではないベクトル測度である。

• ${\mathcal {F}}$ から L^p 空間 $L^{1}([0,1])$ への関数と見なされたとき、$\mu$ は可算加法的なベクトル測度である。

これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。

ベクトル測度の変分

ベクトル測度 $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ に対し、その変分（variation）$|\mu |$ は

$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$

によって定義される。ここで右辺の上限は、${\mathcal {F}}$ 内のすべての $A$ に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

に対して取られる。また $\|\cdot \|$ は $X$ 上のノルムである。$\mu$ の変分は $[0,\infty ]$ に値を取る有限加法的関数である。${\mathcal {F}}$ 内の任意の $A$ に対して

$\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$

が成立する。$|\mu |(\Omega )$ が有限であるなら、測度 $\mu$ は有界変分（bounded variation）に属すると言われる。$\mu$ が有界変分のベクトル測度であるなら、$\mu$ が可算加法的であることと $|\mu |$ が可算加法的であることは同値である。

リャプノフの定理

ベクトル測度の理論におけるリャプノフの定理によれば、（非原子的な）ベクトル測度の値域は閉かつ凸である 。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド（ゾノトープの収束列の極限であるような閉凸集合）である。この定理は、数理経済学や、ビッグバン制御理論、および統計理論において用いられる。リャプノフの定理は、その離散相似と見なされるシャープレー＝フォークマンの補題を用いることによって証明される

脚注

書籍

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (reprint ed.). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. https://books.google.it/books?id=vRxV2FwJvoAC&printsec=frontcover&dq=Measure+theory+Cohn&cd=1#v=onepage&q&f=false 
• Diestel, Joe; Uhl, (1977). Vector measures. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1515-6 
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D. (2001), “Vector measures”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Vector_measure 

関連項目

• ボホナー積分