ボゴモロフ予想

数学において、フョードル・ボゴモロフ(Fedor Bogomolov)に因んで名前の付いたボゴモロフ予想(Bogomolov conjecture)とは、次の予想を言う。

C を代数体 K 上定義された種数 g が 2 以上の代数曲線とし、${\overline {K}}$ を K の代数的閉体とし、C のそのヤコビ多様体 J への埋め込みを固定し、${\hat {h}}$ で豊富な対称的因子に付随した J 上のネロン・テイトの高さを表す。すると、ある $\epsilon >0$ が存在し、

集合 $\{P\in C({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}$   が有限

となる。${\hat {h}}(P)=0$ と P が捩れ点であることは同値であるから、ボゴモロフ予想はマーニン・マンフォード予想を一般化した予想となる。元々のボゴモロフ予想は、エマニュエル・ウルモ(Emmanuel Ullmo)と张寿武(Shou-Wu Zhang)により、1998年に証明された。 Zhang は、次の一般化された定理を証明した。

A を K 上に定義されたアーベル多様体とし、${\hat {h}}$ を豊富な対称的因子に付随する A 上のネロン・テイトの高さとする。部分多様体 $X\subset A$ が捩れ部分多様体(torsion subvariety)であるとは、その部分多様体が捩れ点によりアーベル多様体 A のアーベル部分多様体の変換である場合を言う。X が捩れ部分多様体ではない場合は、ある $\epsilon >0$ が存在し、

集合 $\{P\in X({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}$   は A においてザリスキー稠密(Zariski dense)ではない。

参考文献

• Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander, eds (2013). “Diophantine geometry and analytic spaces”. Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011. Contemporary Mathematics. 605. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 161-179. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002 

関連書籍

• The Manin-Mumford conjecture: a brief survey, by Pavlos Tzermias