マクスウェル・ベティの相反作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、英語: Maxwell-Betti reciprocal work theorem）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された^[1]。弾性体上に2種類の荷重群 $\{P_{i}|i=1,2,\dots \},\{P'_{k}|k=1,2,\dots \}$ をかけることを考える。一つ目の荷重群 $\{P_{i}\}$ のみをかけたときにもう一方の荷重群 $\{P'_{k}\}$ の作用点の作用方向変位成分を $\{u_{k}\}$ とする。また、荷重群 $\{P'_{k}\}$ のみをかけたときの $\{P_{i}\}$ の作用点の作用方向変位成分を $\{u'_{i}\}$ とする。このときベティの相反定理：

\sum _{i}P_{i}u'_{i}=\sum _{k}P'_{k}u_{k}

が成り立つ^[2]。

特に $i = k = 1, P 1 = P' 1 = 1$ とすると、マクスウェルの相反定理：

任意の点Aに作用する単位荷重

P A

によって他の点Bに生じる変位（の、別に点Bに作用される単位荷重

P B

の方向への成分）

u' A

は、

P B

による点Aの

P A

の方向への変位量（の、

P A

の方向への成分）

u B

に等しい。すなわち

u'_{A}=u_{B}

が成り立つ。

証明

簡単な証明として $i = k = 1$ とし、弾性体に力P_AとP_Bの2つの荷重を作用させる。ただし作用させる手順は次の2通りを考える。

P_Aを作用させた後、P_Bを作用させる。このとき、
1. $P A$ を作用させた際の点Aの変位を $u AA$ とすると、外力仕事は $(1/2) P A u AA$
2. その後 $P B$ を作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれ $u AB, u BB$ とすると、外力仕事は $(1/2) P B u BB + P A u AB$
P_Bを作用させた後、P_Aを作用させる。このとき、
1. $P B$ を作用させた際の点Bの変位を $u BB$ とすると、外力仕事は $(1/2) P B u BB$
2. その後 $P A$ を作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれ $u AA, u BA$ とすると、外力仕事は $(1/2) P A u AA + P B u BA$

弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路によらないため、それぞれの手順による外力仕事の和は同じでなければならない。したがって

{\begin{aligned}\left({\frac {1}{2}}P_{A}u_{AA}\right)+\left({\frac {1}{2}}P_{B}u_{BB}+P_{A}u_{AB}\right)&=\left({\frac {1}{2}}P_{B}u_{BB}\right)+\left({\frac {1}{2}}P_{A}u_{AA}+P_{B}u_{BA}\right)\\\therefore P_{A}u_{AB}&=P_{B}u_{BA}\\\end{aligned}}

が成り立つ。

注

^ なお、名前のもうひとつのほうの「マクスウェル」は、電磁方程式などでも有名なジェームズ・クラーク・マクスウェルに由来する。
^ 石田修三、松永裕之、中村恒善、須賀好富、永井興史郎『建築構造力学　図説・演習II』丸善、162-164頁。ISBN 978-4621039663。

証明

注

関連項目