ミンコフスキー距離

ミンコフスキー距離とは、ノルム線型空間における距離計量で、ユークリッド距離およびマンハッタン距離を一般化したものと言える。ドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられた。

定義

ミンコフスキー距離の次数を「$p$ (ただし、$p$は整数)」とした時、点$X$と点$Y$（ただし、$X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$および$Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$）の距離は、以下のように定義される。

$D\left(X,Y\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

$p\geq 1$の場合においては、ミンコフスキー距離はミンコフスキーの不等式の結果を満たす距離計量となる。もし$p<1$だった場合、点(0,0)と点(1,1)の間の距離は$2^{1/p}>2$となるが、双方の点と点(0,1)との間の距離は1となる。これは三角不等式に反するので、$p<1$の時は距離計量にはならない。しかし、このような距離計量は、単に$1/p$という冪指数を除去するだけで得られる。この距離計量は同時にF-ノルムでもある。

ミンコフスキー距離は通常、$p$が1または2の場合が用いられ、これはそれぞれマンハッタン距離とユークリッド距離に対応する。特殊な場合であるが、$p$が無限に発散する場合はチェビシェフ距離が得られる。

$\lim _{p\to \infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.\,$

同様に、$p$が負の無限大に発散する場合は、このような式になる。:

$\lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.\,$

ミンコフスキー距離は、点Pと点Qの間の成分ごとの差の累乗平均の倍数と見なすこともできる。

以下の図は、$p$の値を様々に変化させた時の単位円（中心から等しい距離にある全ての点の集合）を示している。

関連項目

• Lp空間
• 一般化平均
• p-ノルム

External links

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