モノイド環

抽象代数学におけるモノイド環（モノイドかん、英: monoid ring）あるいはモノイド多元環（モノイドたげんかん、英: monoid algebra; モノイド代数）は、（単位的）環とモノイドから構成される単位的多元環で、多項式環の概念を一般化するものである。

実際、環 $R$ 上の一変数多項式環 $R [x]$ は $R$ と（ $0$ を含む）自然数全体の成す（加法的）モノイド $N$ （あるいは適当な不定元 $x$ を用いて乗法的に書いた可換モノイド ${x n | n \in N}$ ）から得られるモノイド環 $R [{x n}]$ であり、同様に（加法）モノイド $N n$ は $n$ -変数の多項式環 $R [N n] =: R [X 1, \dots, X n]$ を与える。

与えられたモノイドがさらに群を成すとき、得られるモノイド環は群環と呼ばれる。

定義

$R$ を環とし $G$ をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。

$G$ の $R$ 上のモノイド環 $R [G]$ （あるいは $RG$ とも書く）は、 $G$ の元からなる $R$ -係数の「形式和」全体の成す集合
$R[G]:=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}\,g\mid r_{g}\in R,\,r_{g}=0{\text{ for all but finitely many }}g\in G\right\}$
を台集合とする。ここで右辺は各 $g \in G$ に対して $r g \in R$ であり、かつ有限個を除くすべての $g$ に対して $r g = 0$ となるような和を元とする集合を意味するものである。環としての演算はこの台集合上に、加法は係数ごとの和（英語版）で入れて、乗法は（ $R$ と $G$ とが元ごとに可換となるものとして） $G$ における積を線型に拡張する。
$R [G]$ は写像 $φ: G \to R$ でその台 $supp(φ) = {g | φ(g) \neq 0}$ が有限となるもの全体の成す集合
$R[G]:=\{\varphi \colon G\to R\mid |\operatorname {supp} (\varphi )|<\infty \}$
で、写像の通常の加法（英語版）と畳み込み
$(\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )$
を乗法として持つ環として定義できる^{[注 1]}。

言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。^{[注 2]}

$R [G]$ は環として単位的である。実際、 $R$ の乗法単位元 $1$ と $G$ の単位元 $e$ に対して、 $1\cdot e \in R [G]$ は上記乗法の単位元を与える。
$R [G]$ が環として可換となるのは、 $G$ が可換モノイドであるときである。
係数環の変更: 環 $A, B$ とその間の環準同型 $f : A \to B$ に対して、モノイド環の間の準同型 $F : A [G] \to B [G]$ が $(Fφ)(g) := f (φ (g))$ （形式和で書けば $F (\sum r g \cdot g) := \sum f (r g)\cdot g$ ）とおくことにより一意的に定まる。

$r \in R$ に対して元ごとのスカラー倍

(r\phi )(g):=r(\phi (g))\qquad \left(r\sum _{g}r_{g}\cdot g:=\sum _{g}(rr_{g})g\right)

を定義して $R [G]$ は $R$ 上の多元環になる。

普遍性

環 $R$ とモノイド $G$ が与えられると、各 $r$ を $r \cdot1$ （ $1 = 1 G$ は $G$ の単位元）に送る環準同型 $α : R \to R [G]$ と、各 $g$ を $1\cdot g$ （ $1 = 1 R$ は $R$ の乗法単位元）に送るモノイド準同型（英語版） $β : G \to R [G]$ （ $R [G]$ は乗法によりモノイドと見る）が存在するという意味で $R$ と $G$ は $R [G]$ に標準的に埋め込めて、任意の $r \in R$ と $g \in G$ に対して $α (r)$ と $β (g)$ は常に可換となる。このとき、モノイド環の普遍性とは次のように述べられる。

モノイド環の普遍性: 任意の環 $S$ について、環準同型 $α' : R \to S$ およびモノイド準同型 $β' : G \to S$ （S は乗法についてモノイドと見る）の組で $α' (r)$ と $β' (g)$ $(r \in R, g \in G)$ が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型 $γ : R [G] \to S$ で $γ \circ α = α'$ かつ $γ \circ β = β'$ を満たすものが一意的に存在する。

圏論的に述べれば、モノイドの圏 $Mon$ と結合的 $R$ -多元環の圏 $R - Alg$ に対して、函手 $U : R - Alg \to Mon$ を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み $G \to U (R [G]); g \mapsto 1\cdot g$ が普遍である。即ち $R$ -多元環 $A$ と任意のモノイド準同型 $f : G \to U (A)$ に対し $F (\sum r g \cdot g) = \sum r g \cdot f (g)$ となる $F$ が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は $U$ の左随伴である。

添加

添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 η: R[G] → R である：

\eta (\sum _{g\in G}r_{g}g)=\sum _{g\in G}r_{g}.

η の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。

一般化

$G$ が半群であれば、同じ構成により半群環 (semigroup ring) R[G] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。

$A$ は環、 $G$ は全順序群、すなわち $α < β かつ γ < δ ならば αγ < βδ$ を満たす群とするとき、

S (G, A) := {f : G \to A | supp(f) が整列集合}

と置けば、 $S (G, A)$ は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。 $A$ が体のとき $S (G, A)$ は可除環になる。例えば $G = Z$ を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環 $S (Z, A)$ は $A$ -係数形式ローラン級数環である。

注釈

^ ここで $g \in G$ において $r \in R$ , それ以外のとき $0 (= 0 R)$ となる写像 $φ \in R [G]$ を $φ = r \cdot g = rg$ のように書くものとすれば、上記の形式和としての定義がその演算をも含めて回復される。例えば $r, s \in R$ , $g, h \in G$ に対して $(r \cdot g)(s \cdot h) = (rs)\cdot(gh)$ などが確認できる。
^ より厳密には、 $x = \sum g r g \cdot g$ および $φ : G \to R$ に対して、内積 $(x, φ) := \sum g r g φ (g) \in R$ に関する意味で、形式和の集合 $R [G]$ と写像空間 $R G$ は「双対」の関係にある。

参考文献

Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (Rev. 3rd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

外部リンク

Barile, Margherita. "SemigroupAlgebra". mathworld.wolfram.com (英語).
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Semi-group algebra”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] ここで $g \in G$ において $r \in R$ , それ以外のとき $0 (= 0 R)$ となる写像 $φ \in R [G]$ を $φ = r \cdot g = rg$ のように書くものとすれば、上記の形式和としての定義がその演算をも含めて回復される。例えば $r, s \in R$ , $g, h \in G$ に対して $(r \cdot g)(s \cdot h) = (rs)\cdot(gh)$ などが確認できる。

[2] より厳密には、 $x = \sum g r g \cdot g$ および $φ : G \to R$ に対して、内積 $(x, φ) := \sum g r g φ (g) \in R$ に関する意味で、形式和の集合 $R [G]$ と写像空間 $R G$ は「双対」の関係にある。

[注 1]

[注 2]

モノイド環

定義

普遍性

添加

一般化

注釈

参考文献

関連文献

関連項目

外部リンク