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モーデル作用素(モーデルさようそ、Mordell operator)とは、関数
に作用する作用素。
各素数
に対して、
モーデル作用素
は、ラマヌジャンが考察した関数
[1]
![{\displaystyle \Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}=:\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q:=\exp \left(2\pi iz\right),\quad z\in H:=\{\zeta |\mathrm {Im} \zeta >0\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c06b6dd4bd203e99b18e6edcd9a5dc3bfd86889)
に作用する作用素として、以下のように定義される
[2]。
![{\displaystyle (T(p)\Delta )(z):={\frac {1}{p}}\sum _{l=0}^{p-1}\Delta \left({\frac {z+l}{p}}\right)+p^{11}\Delta (pz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89505d9b9c5e2eab13971c0d85deecc10b93abb)
1916年にラマヌジャンは
に関して、次の2つの命題を予想した[3]。
- ディリクレ級数
を
と定義すると
が成立する。
- 素数
に対して、
が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された[4][5][6]。)
さらに、次の命題を証明した[3]。
- 素数
に対して、![{\displaystyle \tau (p)\equiv 1+p^{11}(\mod 691).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd759abb27ece56753354bbe758db1929dbfb44)
1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した[2][7]
[8]。
その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、
がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が
であることを示した。
![{\displaystyle (T(p)\Delta )(z)=\tau (p)\Delta (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb4bc1381e10773d52db0db24d774e08414f479)
- ^ 黒川信重・栗原将人・斎藤毅共著「数論Ⅱ:岩澤理論と保型形式」岩波書店、2005、ISBN 4-00-005528-3、p.382.
- ^ a b 黒川他「数論Ⅱ」p.385.
- ^ a b 黒川他「数論Ⅱ」p.384.
- ^ 黒川他「数論Ⅱ」pp.385, 395.
- ^ G.H.Hardy, Ramanujan:Twelve lectures on subjects suggested by his life and work(reprint), 1999, AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-2023-0, p.246.
- ^ P.Delignu, La conjecture de Weil. I., Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.(1974), no.43, 273-307.
- ^ G.H.Hardy, Ramanujan, p.184.
- ^ L.J.Mordell, On Mr.Ramanujan's empirical expansions of moduler functions, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19(1917)117-124.