モーデル曲線
代数学において、モーデル曲線（-きょくせん、英語: Mordell curve）とは、n を非零整数定数として y2 = x3 + n の形式で表される楕円曲線である[1]。
ルイス・モーデルはこれらの曲線の格子点について詳しく研究した[2]。彼はすべてのモーデル曲線が高々有限個の格子点 (x, y) を持つと示した。言い換えれば、平方数と立方数の差は無限大に発散するということである。発散速度はベイカーの定理によって調べられている。この問題はホールの予想として取り扱われている。
性質
[編集](x, y) がモーデル曲線上の格子点であるとき、(x, −y) も同様に格子点となる。
対応するモーデル曲線が格子点を持たないような n が存在する[1]。例えば
- 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A054504）
- −3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A081121）
n = −2 の場合についてはフェルマーのサンドイッチ定理（英語: Fermat's Sandwich Theorem）として知られる[3]。
解のリスト
[編集]n の絶対値が25以下の場合のモーデル曲線 y2 = x3 + n の解のリストを示す。y ≥ 0 となる解のみ示してある。
| n | (x,y) |
|---|---|
| 1 | (−1, 0), (0, 1), (2, 3) |
| 2 | (−1, 1) |
| 3 | (1, 2) |
| 4 | (0, 2) |
| 5 | (−1, 2) |
| 6 | – |
| 7 | – |
| 8 | (−2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312) |
| 9 | (−2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253) |
| 10 | (−1, 3) |
| 11 | – |
| 12 | (−2, 2), (13, 47) |
| 13 | – |
| 14 | – |
| 15 | (1, 4), (109, 1138) |
| 16 | (0, 4) |
| 17 | (−1, 4), (−2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661) |
| 18 | (7, 19) |
| 19 | (5, 12) |
| 20 | – |
| 21 | – |
| 22 | (3, 7) |
| 23 | – |
| 24 | (−2, 4), (1, 5), (10, 32), (8158, 736844) |
| 25 | (0, 5) |
| n | (x,y) |
|---|---|
| −1 | (1, 0) |
| −2 | (3, 5) |
| −3 | – |
| −4 | (5, 11), (2, 2) |
| −5 | – |
| −6 | – |
| −7 | (2, 1), (32, 181) |
| −8 | (2, 0) |
| −9 | – |
| −10 | – |
| −11 | (3, 4), (15, 58) |
| −12 | – |
| −13 | (17, 70) |
| −14 | – |
| −15 | (4, 7) |
| −16 | – |
| −17 | – |
| −18 | (3, 3) |
| −19 | (7, 18) |
| −20 | (6, 14) |
| −21 | – |
| −22 | – |
| −23 | (3, 2) |
| −24 | – |
| −25 | (5, 10) |
1998年、J. Gebel, A. Pethö, H. G. Zimmer は 0 < |n| ≤ 104 を満たすすべての格子点を見つけている[4][5]。
2015年、M. A. Bennett と A. Ghadermarzi は 0 < |n| ≤ 107 の格子点を計算した[6]。
脚注
[編集]- ^ a b Weisstein, Eric W. "Mordell Curve". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Louis Mordell (1969). Diophantine Equations
- ^ Weisstein, Eric W. "Fermat's Sandwich Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). 2022年3月24日閲覧。
- ^ Gebel, J.; Pethö, A.; Zimmer, H. G. (1998). “On Mordell's equation”. Compositio Mathematica 110 (3): 335–367. doi:10.1023/A:1000281602647.
- ^ A081119およびA081120。
- ^ M. A. Bennett, A. Ghadermarzi (2015). “Mordell's equation : a classical approach”. LMS Journal of Computation and Mathematics 18: 633-646. arXiv:1311.7077. doi:10.1112/S1461157015000182.
外部リンク
[編集]- J. Gebel, Data on Mordell's curves for –10000 ≤ n ≤ 10000
- M. Bennett, Data on Mordell curves for –107 ≤ n ≤ 107