モーメント (数学)

数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数 $x$ に関する関数 $f (x)$ の $n$ 次モーメント $\mu _{n}^{(0)}$ は、

\mu _{n}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 $f (x)$ は一意に決定される。 $\mu =\mu _{1}^{(0)}/\mu _{0}^{(0)}$ は $f$ を密度関数とする測度の重心を表している。

関数 $f (x)$ の $c$ 周りの $n$ 次モーメント $\mu _{n}^{(c)}$ は、

\mu _{n}^{(c)}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}f(x)\,dx

で表される。

重心周りのモーメント $μ n = μ (μ) n$ を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント

確率密度関数 $f (x)$ のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。

全測度は $1$ ： $\mu _{0}^{(0)}=1$ 。
$\mu =\mu _{1}^{(0)}$ は $x$ の平均値。
$\sigma ^{2}=\mu _{2}=\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}$ は分散、 $\sigma ={\sqrt {\mu _{2}}}$ は標準偏差。
$\gamma _{1}=\mu _{3}/\sigma ^{3}$ は歪度。
$\gamma _{2}=\mu _{4}/\sigma ^{4}-3$ は尖度。

変量統計における、データ $x 1, \dots, x N$ のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では

\mu _{n}^{(0)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}

と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。

もう1つの変量統計のモーメントの定義では

\mu _{n}^{(0)}=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}

と表される。

この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

$\mu _{0}^{(0)}=N$ 。
$\mu =\mu _{1}^{(0)}/N$ は平均値。
$\sigma ^{2}=\mu _{2}/N=\{\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}\}/N$ は分散、 $\sigma ={\sqrt {\mu _{2}/N}}$ は標準偏差。
$\gamma _{1}=\mu _{3}/N\sigma ^{3}$ は歪度。
$\gamma _{2}=\mu _{4}/N\sigma ^{4}-3$ は尖度。

2変数関数 $f (x, y)$ の $(m + n)$ 次モーメント $\mu _{mn}^{(0)}$ は、

\mu _{mn}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{m}y^{n}f(x,y)\,dxdy

または、デジタル画像に対しては、

\mu _{mn}^{(0)}=\sum _{x}\sum _{y}x^{m}y^{n}f(x,y)

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

$\mu _{00}^{(0)}$ は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。
点 $(\mu _{10}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)},\mu _{01}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)})$ は重心。
慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは $\tan \theta$ で、 $θ$ は $\tan 2\theta =2\mu _{11}^{(0)}/(\mu _{20}^{(0)}-\mu _{02}^{(0)})$ を満たす。
慣性主軸を $x$ 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを $\mu _{00}^{(0)}$ で割った値は拡大縮小に対し不変。