ヤコビの四平方定理

ヤコビの四平方定理 (英: Jacobi's four square theorem) は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理^[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は

r_{4}(N)=8\sum _{4{\nmid }d{\mid }N}d

で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。 $N\geqq 1$ ならば $r_{4}(N)\geqq 8$ であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。

ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である^[2]。

具体例

例えば、

r_{4}(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96

であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は

{\begin{aligned}12&=(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+0^{2}\\&=(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+0^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=(\pm 2)^{2}+0^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=0^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}\\\end{aligned}}

であり、符号と順序を区別すれば96個になる。

ガウス, C・F・著、高瀬正仁訳『ガウス整数論』朝倉書店〈数学史叢書〉、1995年6月20日（原著1801年）。ISBN 978-4-254-11457-7。
ハーディ, G・H・、ライト, E・M・著、示野信一・矢神毅訳『数論入門』 I、丸善出版〈シュプリンガー数学クラシックス8〉、2012年1月（原著2001年7月）。ISBN 978-4-621-06226-5。