ライスナー・ノルドシュトロム解

ライスナー・ノルドシュトロム解（ライスナー・ノルドシュトロムかい、Reissner‐Nordström metric, Reissner‐Nordström solution）は、一般相対性理論のアインシュタイン・マクスウェル方程式の厳密解の一つで、球対称で電荷を帯びたブラックホールを表現する計量 (metric) である。シュヴァルツシルト解の発見直後、ライスナー (Reissner, 1916) とノルドシュトロム (Nordström, 1918) によって報告された。

ライスナー・ノルドシュトロム計量は、次のように書ける。

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

ここで、

$\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}$

であり、

$M\,$ は、ブラックホールの質量

$Q\,$ は、ブラックホールの電荷

である。ここでは、光速と万有引力定数、クーロン定数を1とする幾何学単位系 ($c=G=k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=1$) を用いている。電荷がゼロであれば、解は、シュヴァルツシルト解を再現する。

この解には、2つの地平面が存在する。座標で表現すると

$r_{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}\,$

の面であり、外側が事象の地平面、内側がコーシー地平面 (Cauchy horizon)と呼ばれる。電荷が$|Q|=M\,$のとき、2つの地平面は重なり、最大荷電ブラックホール(extremal black hole)となる。

この値以上の電荷を持つと（$|Q|>M\,$）、時空が裸の特異点を持つことになるので、ロジャー・ペンローズの宇宙検閲官仮説に基づけば、このようなブラックホールは自然界には存在しないと考えられる。

エネルギー運動量テンソル

ライスナー・ノルドシュトロム解ではシュワルツシルト解と異なり、アインシュタイン方程式におけるエネルギー運動量テンソルの項は電磁場があるため非ゼロである。電荷Qを持つ球対称なブラックホール周辺の電磁場テンソルは、 $r$ が一定の球面の面積は計量の角度方向が $rd\Omega ^{2}$ であること、また計量の $dt$ と $dr$ の係数の積が 1 であることから、電場の保存則よりすぐに

$F_{tr}=Q/r^{2}$

でその他の成分はゼロとわかる。 これよりエネルギー運動量テンソルは公式

$T_{\mu \nu }={\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }g^{\alpha \beta }$

より

$T_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-{\frac {Q^{2}}{r^{4}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {Q^{2}}{r^{4}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+{\frac {Q^{2}}{r^{4}}}r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

となる。

関連項目

• 一般相対性理論 | アインシュタイン方程式
• シュヴァルツシルト・ブラックホール
• ブラックホール唯一性定理