ラグランジュ部分多様体

$\,(M,\omega )\,$ をシンプレクティック多様体であるとする。

$\,M\,$ の部分多様体 $\,L\subset M\,$ が ラグランジュ部分多様体であるとは、

(1) $\,\dim L={\frac {1}{2}}\dim M\,$

(2) $\,\omega |_{L}=0\,$

を満たすことをいう。

例１

$M$ をn次元シンプレクティック多様体であるとする。また、 $\,f_{1},\cdots ,f_{n}\,$ を次を満たす $M$ 上の滑らかな関数たちとしよう。

(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まるポアソン構造に関して、 $\,\{f_{i},f_{j}\}=0\,$ が成立する。ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。

(ii) $\,df_{1},\cdots ,df_{n}\,$ は $\,M\,$ 上で一次独立である。 $\,df_{i}\,$ は $\,f_{i}\,$ の外微分を表す。

$M$ から $\mathbb {R} ^{n}$ への写像 $\,F\,$ を $\,F:M\to \mathbb {R} ^{n}:p\mapsto (f_{1}(p),\cdots ,f_{n}(p))\,$ で定義する。

このとき、もし $\,(c_{1},\cdots ,c_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,$ が $\,F\,$ の正則値であるならば、

$\,F^{-1}(c_{1},\cdots ,c_{n})=\{p\in M|f_{i}(p)=c_{i},i=1,\cdots ,n\}\,$

はラグランジュ部分多様体である。

例２

$\,M\,$ をｎ次元多様体とし、 $\,T^{*}M\,$ でその余接バンドルを表すとする。余接バンドルを正準２形式 $\,\omega _{0}\,$ の入ったシンプレクティック多様体であると思うと、 $\,M\hookrightarrow T^{*}M\,$ はラグランジュ部分多様体である。

例１

例２

関連項目