ラマヌジャンのタウ函数

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は， Ramanujan (1916) によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 $τ : N \to Z$ である：

\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),

ただし $Im z > 0$ なる $z$ に対し $q = exp(2 πiz)$ であり， $η$ はデデキントのイータ関数であり，関数 $Δ(z)$ はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．イアン・G・マクドナルド（英語版） (Ian G. Macdonald) による公式が Dyson (1972) において与えられた．

値

タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（オンライン整数列大辞典の数列 A000594）：

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$τ (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

ラマヌジャン予想

Ramanujan (1916) は $τ (n)$ の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：

$τ (mn) = τ (m) τ (n)$ が $gcd(m, n) = 1$ のとき成り立つ（つまり $τ$ は乗法的関数である）．
$τ (p r + 1) = τ (p) τ (p r) - p 11 τ (p r - 1)$ が $p$ が素数で $r > 0$ のとき成り立つ．
$| τ (p)| \leq 2 p 11/2$ がすべての素数 $p$ に対して成り立つ．

最初の2つの性質は Mordell (1917) によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．

タウ関数の合同関係

$k \in Z$ と $n \in Z >0$ に対して， $σ k (n)$ を $n$ の約数の $k$ 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが $σ k (n)$ を用いて表せる．いくつかを挙げる^[1]：

$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3$ ^[3]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3$ ^[3]
$\tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5$ ^[4]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7$ ^[5]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7$ ^[5]
$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.$ ^[6]

素数 $p \neq 23$ に対して，次が成り立つ^[1]^[7]：

$\tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1$
$\tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}$ ^[8]
$\tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.$

$τ (n)$ に関する予想

$f$ はウェイト $k$ の integer newform でありフーリエ係数 $a (n)$ は整数であるとする．次の問題を考える： $f$ が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 $p$ は $a(p)\neq 0{\bmod {p}}$ という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり， $p$ と互いに素な $n$ に対して $a (n) mod p$ が決定されたが， $a (p) mod p$ の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 $p$ に対して $a (p) = 0$ でありしたがって $0 mod p$ であることを保証する．無限個の素数 $p$ に対して $a (p) \neq 0 mod p$ なるウェイト $> 2$ の虚数乗法を持たない $f$ の例は知られていない（ほとんどすべての $p$ に対しては正しいのであるが）．無限個の $p$ に対して $a (p) = 0 mod p$ であるような例もまた知られていない．本当に無限個の $p$ に対して $a (p) = 0 mod p$ であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト $12$ の）ラマヌジャンの $τ (p)$ を挙げた． $τ (p) = 0 mod p$ であることが分かっている最大の $p$ は $p = 7758337633$ である．方程式 $τ (p) \equiv 0 mod p$ の解は $1010$ まででは $p = 2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $2411$ , $7758337633$ のみである^[9]．

Lehmer (1947) はすべての $n$ に対して $τ (n) \neq 0$ であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは $n < 214928639999$ に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの $n$ について成り立つかの進展をまとめたものである．

$n$	文献
3316799	Lehmer (1947)
214928639999	Lehmer (1949)
10¹⁵	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1213229187071998	Jennings (1993)
22689242781695999	Jordan and Kelly (1999)
22798241520242687999	Bosman (2007)
982149821766199295999	Zeng and Yin (2013)
816212624008487344127999	Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)

脚注

^ ^a ^b Page 4 of Swinnerton-Dyer 1973
^ ^a ^b ^c ^d Due to Kolberg 1962
^ ^a ^b Due to Ashworth 1968
^ Due to Lahivi
^ ^a ^b Due to D. H. Lehmer
^ Due to Ramanujan 1916
^ Due to Wilton 1930
^ Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5
^ Due to N. Lygeros and O. Rozier 2010 Archived 2014年4月7日, at the Wayback Machine.

参考文献

Apostol, T. M. (1997), “Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory”, New York: Springer-Verlag 2nd ed.
Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford)
Dyson, F. J. (1972), “Missed opportunities”, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (5): 635-652, doi:10.1090/S0002-9904-1972-12971-9, Zbl 0271.01005
Kolberg, O. (1962), “Congruences for Ramanujan's function τ(n)”, Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR0158873, Zbl 0168.29502
Lehmer, D.H. (1947), “The vanishing of Ramanujan’s function τ(n)”, Duke Math. J. 14: 429–433, doi:10.1215/s0012-7094-47-01436-1, Zbl 0029.34502
Lygeros, N. (2010), “A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)”, Journal of Integer Sequences 13: Article 10.7.4
Mordell, Louis J. (1917), “On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19: 117–124, JFM 46.0605.01
Newman, M. (1972), “A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067”, National Bureau of Standards.
Rankin, Robert A. (1988), “Ramanujan's tau-function and its generalizations”, in Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press, pp. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, MR938968
Ramanujan, Srinivasa (1916), “On certain arithmetical functions”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): 159–184, MR2280861
Serre, J-P. (1968), “Une interprétation des congruences relatives à la fonction $\tau$ de Ramanujan”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 14
Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), “On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III, Lecture Notes in Mathematics, 350, pp. 1–55, ISBN 978-3-540-06483-1, MR0406931
Wilton, J. R. (1930), “Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)”, Proceedings of the London Mathematical Society 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1

[swd-1] Page 4 of Swinnerton-Dyer 1973

[kolberg-2] Due to Kolberg 1962

[ashworth-3] Due to Ashworth 1968

[4] Due to Lahivi

[Lehmer-5] Due to D. H. Lehmer

[6] Due to Ramanujan 1916

[7] Due to Wilton 1930

[8] Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5

[Lygeros-9] Due to N. Lygeros and O. Rozier 2010 Archived 2014年4月7日, at the Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

値

ラマヌジャン予想

タウ関数の合同関係

τ(n) に関する予想

脚注

参考文献

$τ (n)$ に関する予想