ルベーグの密度定理

数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」（つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。

μ を Rⁿ 上のルベーグ測度とし、 A を Rⁿ のルベーグ可測な部分集合とする。Rⁿの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。

$d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}.$

ここで、B_εは x を中心とする半径 ε の閉球体である。

ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度

$d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$

が存在してそれが 1 に等しいと主張する。

言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、Rⁿ のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(Rⁿ ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような Rⁿ の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。

密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。

ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。

関連項目

• 境界 (位相空間論): 位相幾何学的なアナロジー

参考文献

• Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.

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