ルベーグの被覆補題

トポロジーにおけるルベーグの被覆補題（英: Lebesgue covering lemma）あるいはルベーグ数の補題（英: Lebesgue's number lemma）はアンリ・ルベーグに因むコンパクト^{[要曖昧さ回避]}距離空間の研究における有用な補題であって、次のことを主張する：

距離空間

(X,d)

がコンパクトであり、

X

の開被覆が与えられたなら、ある数

\delta >0

が存在して、

\delta

未満の直径を持つ

X

のどんな部分集合もその被覆のある元に含まれる。^[1]

そのような数 $\delta$ はその被覆のルベーグ数と呼ばれる。ルベーグ数の概念そのものも他の応用へ有用である。

証明

${\mathcal {U}}$ を $X$ の開被覆とする。 $X$ はコンパクトだから有限部分被覆 $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}$ を抜き取ることができる。

各 $i\in \{1,\ldots ,n\}$ に対して、 $C_{i}:=X\setminus A_{i}$ とおいて、関数 $f:X\to \mathbb {R}$ を $f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})$ で定める。

$f$ はコンパクト集合上で連続だから、最小値 $\delta$ を取る。鍵となる観察は $\delta >0$ である。もし $Y$ が $\delta$ 未満の直径を持つ $X$ の部分集合なら、ある $x_{0}\in X$ に対して $Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})$ となる。ここで $B_{\delta }(x_{0})$ は半径 $\delta$ 中心 $x_{0}$ の球を表す（よって $x_{0}$ は $Y$ の任意の点としてよい）。 $f(x_{0})\geq \delta$ であるから、少なくともひとつ $i$ が存在して $d(x_{0},C_{i})\geq \delta$ が成り立つ。ところがこのことは $B_{\delta }(x_{0})\subseteq A_{i}$ を意味し、したがってとくに $Y\subseteq A_{i}$ である。

別証明

${\mathcal {U}}$ を $X$ の開被覆とする。どんな $\delta >0$ に対しても $V_{\delta }=\{x\in X|\exists U_{x}\in {\mathcal {U}},\forall x'\in X,d(x,x')\leq \delta \Rightarrow x'\in U_{x}\}$ は開集合である。なぜなら、各 $x\in V_{\delta }$ に対して、 $X\setminus U_{x}$ と $x$ の周りのコンパクト $\delta$ -球の間には正の距離 $\varepsilon$ があるから、開 $\varepsilon$ -球もまた $V_{\delta }$ に含まれる。

族 $\{V_{\delta }|\delta >0\}$ もまた $X$ の開被覆である。 $X$ はコンパクトだから、 $X$ は有限個の $V_{\delta }$ の和に既に含まれている。また $\delta <\delta '$ に対して $V_{\delta }\supseteq V_{\delta '}$ となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある $\delta >0$ に対して $X=V_{\delta }$ が成り立つ。この $\delta$ はルベーグ数である。