レイリー長

左：ガウシアンビームの強度分布。右：ビーム径$w(z)$をビーム軸方向の距離$z$で表したもの。$w_{0}$ : ビームウエスト; $z_{\mathrm {R} }$ : レイリー長

レイリー長（レイリーちょう、Rayleigh length, Rayleigh range）は光学や特にレーザー科学において重要となる用語で、ビームの断面積が集光点における断面積の２倍になる位置とビームの集光点の間の距離である。レイリー長はガウシアンビームにおいて特に重要である。

説明

${\hat {z}}$ 軸方向に伝播する真空中のガウシアンビームのレイリー長は以下の式で表される。

$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

ここで$\lambda$は波長 であり$w_{0}$は集光点におけるビーム径である（ビームウエスト）。この式はビームウエストが波長程度がそれ以上のときになりたつ： $w_{0}\geq 2\lambda /\pi$

集光位置からの距離が z の位置におけるビーム径は 以下の式で表される。

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}$

$w(z)$の最小値は$w(0)=w_{0}$である。定義のとおり、集光位置からの距離がレイリー長$z_{\mathrm {R} }$のとき、ビーム径は${\sqrt {2}}$倍になり断面積は2倍となる。

関連する量

ガウシアンビームの発散角をラジアンの単位で表すと、レイリー長を用いて以下のように表される。

$\Theta _{\mathrm {div} }\simeq 2{\frac {w_{0}}{z_{R}}}$

集光点のビーム径は以下のようになる。

$D=2\,w_{0}\simeq {\frac {4\lambda }{\pi \,\Theta _{\mathrm {div} }}}$

これらの式は近軸近似が成り立つ限り有効である。発散角が非常に大きいビームの場合、ガウシアンビームのモデルは正確ではなくなり、物理光学理論による解析が必要である。

関連項目

• ガウシアンビーム
• ガウス関数
• ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)
• 被写界深度