位相的エントロピー

位相的エントロピー（いそうてきエントロピー、英: topological entropy）とは、力学系の不変量であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。

開被覆による定義

アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。

$(X,f)$をコンパクト離散力学系とせよ。 すなわち、$X$はコンパクト位相空間であり、$f\colon X\to X$は連続写像である。

まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。 $\alpha$と$\beta$を$X$の開被覆とせよ。 このとき、$\alpha$と$\beta$の共通細分$\alpha \vee \beta$を

$\alpha \vee \beta :=\{A\cap B\mid A\in \alpha ,B\in \beta \}$

により定義する。 また、

$f^{-1}(\alpha ):=\{f^{-1}(A)\mid A\in \alpha \}$

も$X$の開被覆である。

さて、位相的エントロピーを定義しよう。

$\alpha$を$X$の開被覆とせよ。 $\alpha$の有限部分被覆の濃度の最小値を、$N(\alpha )$とする。 このとき、開被覆$\alpha$のエントロピーを

$H(\alpha ):=\log _{2}N(\alpha )$

により定義する。

また、極限

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(\alpha \vee f^{-1}(\alpha )\vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha ))$

は常に存在する。 この極限値を開被覆$\alpha$に関する連続写像$f$のエントロピーと呼び、$h(f,\alpha )$と表す。

このとき、コンパクト離散力学系$(X,f)$の位相的エントロピー$h(f)$を

$h(f):=\sup _{\alpha }h(f,\alpha )$

により定義する。 ただし、上限は開被覆の全体で考える。