係数行列

数学の線型代数学の分野における係数行列（けいすうぎょうれつ、英: coefficient matrix）とは、線型方程式の集合における変数の係数からなる行列のことを言う。

例

一般的に m 個の線型方程式と n 個の未知変数を含む系は

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\,

a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\,

\quad \vdots \,

a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\,

のように書き表される。ただし、 $x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$ は未知変数で、数 $a_{11},a_{12},\dotsc ,a_{mn}$ は系の係数である。このとき $a_{ij}$ を (i, j)-成分とする m × n 行列

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}

のことを係数行列という。さらに数 $b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{m}$ からなる列 b を最後尾に付け加えた次の m × (n + 1) 行列

[A,{\boldsymbol {b}}]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{bmatrix}}

のことを拡大係数行列（augmented coefficient matrix）という。