光円錐座標系

光円錐座標系（こうえんすいざひょうけい、英語: light-cone coordinate system）とは、ミンコフスキー空間における座標系で、2つの光的（ヌル）な座標成分をもつ座標系である。

(d,1) 型のミンコフスキー空間における標準的な座標系を $(x 1, x 2,..., x d-1, x d, x d+1)$ とし、計量を

$dx^{2}=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }dx^{\nu }=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+\cdots +(dx^{d-1})^{2}+(dx^{d})^{2}-(dx^{d+1})^{2}$

とする。つまり $x d+1$ が時間的な成分である。光円錐座標系とは

${\begin{cases}x^{+}=(x^{d+1}+x^{d})/{\sqrt {2}}\\x^{-}=(x^{d+1}-x^{d})/{\sqrt {2}}\\\end{cases}}$

により定義される二つの光円錐座標を用いて表される、座標系 $(x 1, x 2,..., x d-1, x +, x -)$ である。光円錐座標系において計量は

$dx^{2}=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }dx^{\nu }=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+\cdots +(dx^{d-1})^{2}-2dx^{+}dx^{-}$

となる。計量テンソル $η$ を行列で表示すれば

$\eta ={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&0\\0&1&&0&0&0\\\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\0&0&&1&0&0\\0&0&\cdots &0&0&-1\\0&0&\cdots &0&-1&0\\\end{pmatrix}}$

である。対角成分の $η ++$ や $η --$ がゼロであるため $x +$ と $x -$ は光的（ヌル）な成分である。また、計量テンソル $η$ で添字を下げれば

$x_{+}=-x^{-},~x_{-}=-x^{+}$

となる。

ローレンツ変換

パラメータ $β$ での $x d$ 方向へのブーストを考えると、ローレンツ変換により

${\begin{cases}x'^{d}=x^{d}\cosh \beta -x^{d+1}\sinh \beta \\x'^{d+1}=x^{d+1}\cosh \beta -x^{d}\sinh \beta \\\end{cases}}$

となる。これを光円錐座標で表せば

${\begin{cases}x'^{+}=\mathrm {e} ^{-\beta }x^{+}\\x'^{-}=\mathrm {e} ^{+\beta }x^{-}\\\end{cases}}$

となる。従って、光円錐座標を用いればローレンツ変換で成分は混ざらない。

粒子の運動

粒子の位置が $x μ$ で表されているとする。この粒子の運動を記述するために、光円錐座標系における時間に相当するパラメータを考える。光円錐座標系における座標成分は、空間的な成分と光的な成分だけであり、時間的な成分を持たない。しかし、光的な成分 $x +$ と $x -$ は、粒子が質量を持つ場合には、時間の経過（ $x d+1$ の増加）に対して単調に増加するので、どちらも時間に相当する座標として用いることができる。そこで $x +$ を光円錐座標系における時間に相当する成分に選び、光速度 $c$ を用いて