公倍数

公倍数（こうばいすう）とは、２つ以上の整数に共通な倍数。例えば、$2$と$3$の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数に$0$を含めないので、公倍数にも$0$を含めない。

公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、$2$と$3$の最小公倍数は$6$である。

与えられた2つ（以上）の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、$4$と$6$の最小公倍数は$12$であるが、$4\cdot 6=24$である。

ある２つ以上の整数の公倍数は無限に存在する。例えば、$3$と$5$の公倍数は-30,-15,0,15,30となり、15の倍数になっていることがわかる。（ある与えられた数の倍数は無限に存在する。）

一般化

二つの整数$m,\ n$の公倍数とは、$m$の倍数全体の集合$m\mathbb {Z} =\{mk|k$は整数全体を動く$\}$、$n$の倍数全体の集合$n\mathbb {Z} =\{nk|k$は整数全体を動く$\}$の集合の共通部分$m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z}$に属する整数のことである。

$m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z}$はある整数$c$を用いて$c\mathbb {Z} =\{ck|k$は整数全体を動く$\}$の形に表すことができる。このような$c$は正と負の2つが存在し、正の方を$m$と$n$の最小公倍数という。これらの概念は$m,\ n$が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。

この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の環では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。

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