円分指標

円分指標 (えんぶんしひょう　Cyclotomic_character）

In number theory, a cyclotomic character is a character of a Galois group giving the Galois action on a group of roots of unity. As a one-dimensional representation over a ring $R$ , its representation space is generally denoted by $R (1)$ (that is, it is a representation $χ : G \to Aut R (R (1)) \approx GL(1, R)$ ).

p-進円分指標[編集]

$p$ を素数、 $G Q$ を有理数体の絶対ガロア群とする。

$ζ n$ を1の原始 $p n$ 乗根とする。 $g\in G Q$ は $ζ n$ を別の1の原始 $p n$ 乗根に送る。

g(\zeta )=\zeta _{n}^{a_{g,n}}

ただし $a g, n \in (Z / p n) \times$ . これにより定まる群準同型

{\bar {\chi _{p^{n}}}}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} ^{\times }

を法 $p n$ 円分指標^[1]という。

ここで $g$ を固定した状況下で、 $n$ を動かすと系列 $a g, n$ は系列 $(Z / p n) \times$ の逆極限、すなわち $Z p \times$ の元をなす。

このようにして定まる群準同型

\chi _{p}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbf {Z} _{p}^{\times }

を $p$ -進円分指標という^[2]。

ここで $\chi _{p}$ は連続写像でもある。

Therefore, the $p$ -adic cyclotomic character sends $g$ to the system $(a g, n) n$ , thus encoding the action of $g$ on all $p$ -power roots of unity.

円分指標

p-進円分指標[編集]

脚注[編集]

関連項目[編集]

p-進 円分指標[編集]

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関連項目[編集]

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