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数論 、組合せ論 におけるオイラーの分割恒等式 （オイラーのぶんかつこうとうしき）は、自然数 （正 の整数 ）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「奇数 の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す恒等式である。[ 1]
例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法
8 = 1+2+5
8 = 1+3+4
8 = 1+7
8 = 2+6
8 = 3+5
8 = 8 と奇数の自然数に分割する方法
8 = 1+1+1+1+1+1+1+1
8 = 1+1+1+1+1+3
8 = 1+1+1+5
8 = 1+1+3+3
8 = 1+7
8 = 3+5 の個数は等しく 6 である。
自然数 n をこのように分割する方法の個数を Q (n ) で表すと、
Q (1) = 1, Q (2) = 1, Q (3) = 2, Q (4) = 2, Q (5) = 3, Q (6) = 4, Q (7) = 5, Q (8) = 6, Q (9) = 8, Q (10) = 10, … （オンライン整数列大辞典 の数列 A9 ）などと続く。
オイラー は2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数 を用いて示した。自然数 n を互いに異なる自然数に分割する方法の数を P d n ) とすると
1
+
∑
n
=
1
∞
P
d
(
n
)
x
n
=
∏
m
=
1
∞
(
1
+
x
m
)
{\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{d}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)}
である。また、自然数 n を奇数の自然数に分割する方法の数を P o n ) とすると
1
+
∑
n
=
1
∞
P
o
(
n
)
x
n
=
∏
m
=
1
∞
(
1
+
∑
k
=
1
∞
x
k
(
2
m
−
1
)
)
=
∏
m
=
1
∞
1
1
−
x
2
m
−
1
{\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{o}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }x^{k(2m-1)}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}}
である。従って、オイラーの分割恒等式は
∏
m
=
1
∞
(
1
+
x
m
)
=
∏
m
=
1
∞
1
1
−
x
2
m
−
1
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}}
と書き表される。
母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。
∏
m
=
1
∞
(
1
+
x
m
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
+
x
m
)
(
1
−
x
m
)
1
−
x
m
=
∏
m
=
1
∞
1
−
x
2
m
1
−
x
m
=
1
−
x
2
⋅
1
1
−
x
1
⋅
1
−
x
2
⋅
2
1
−
x
2
⋅
1
−
x
2
⋅
3
1
−
x
3
⋅
1
−
x
2
⋅
4
1
−
x
4
⋅
.
.
.
=
∏
m
=
1
∞
1
−
x
2
m
(
1
−
x
2
m
−
1
)
(
1
−
x
2
m
)
=
∏
m
=
1
∞
1
1
−
x
2
m
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {\left(1+x^{m}\right)\left(1-x^{m}\right)}{1-x^{m}}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2m}}{1-x^{m}}}\\&={\frac {1-x^{2\cdot 1}}{1-x^{1}}}\cdot {\frac {1-x^{2\cdot 2}}{1-x^{2}}}\cdot {\frac {1-x^{2\cdot 3}}{1-x^{3}}}\cdot {\frac {1-x^{2\cdot 4}}{1-x^{4}}}\cdot ...\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2m}}{\left(1-x^{2m-1}\right)\left(1-x^{2m}\right)}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}\\\end{aligned}}}
例として 8 を分割することを考える。ここで P を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数 をその半分の二つの整数の和にする変換 、U を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると
1
+
(
2
)
+
5
→
P
1
+
[
1
+
1
]
+
5
→
U
1
+
2
+
5
{\displaystyle 1+(2)+5{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+5{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+2+5}
1
+
3
+
(
4
)
→
P
1
+
[
(
2
)
+
(
2
)
]
+
3
→
P
1
+
[
1
+
1
]
+
[
1
+
1
]
+
3
→
U
1
+
(
(
2
)
+
(
2
)
)
+
3
→
U
1
+
3
+
4
{\displaystyle 1+3+(4){\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[(2)+(2)]+3{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+[1+1]+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+((2)+(2))+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+3+4}
1
+
7
→
I
1
+
7
{\displaystyle 1+7{\xrightarrow {\quad I\quad }}1+7}
(
2
)
+
(
6
)
→
P
[
1
+
1
]
+
[
3
+
3
]
→
U
2
+
6
{\displaystyle (2)+(6){\xrightarrow {\quad P\quad }}[1+1]+[3+3]{\xrightarrow {\quad U\quad }}2+6}
3
+
5
→
I
3
+
5
{\displaystyle 3+5{\xrightarrow {\quad I\quad }}3+5}
(
8
)
→
P
[
(
4
)
+
(
4
)
]
→
P
[
(
2
)
+
(
2
)
]
+
[
(
2
)
+
(
2
)
]
→
P
[
1
+
1
]
+
[
1
+
1
]
+
[
1
+
1
]
+
[
1
+
1
]
→
U
(
2
+
2
)
+
(
2
+
2
)
→
U
(
4
+
4
)
→
U
8
{\displaystyle (8){\xrightarrow {P}}[(4)+(4)]{\xrightarrow {P}}[(2)+(2)]+[(2)+(2)]{\xrightarrow {P}}[1+1]+[1+1]+[1+1]+[1+1]{\xrightarrow {U}}(2+2)+(2+2){\xrightarrow {U}}(4+4){\xrightarrow {U}}8}
このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応 がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 I で表した。
Andrews, George E.; Eriksson, Kimmo (2004), Integer Partitions (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-60090-1 Hardy, G. H. ; Wright, E. M. (2008) [1938], Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H.; Wiles, Andrew, eds., An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8 
![{\displaystyle 1+(2)+5{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+5{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+2+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be1d170527e21e636c175da161bc780b81ebaca)
![{\displaystyle 1+3+(4){\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[(2)+(2)]+3{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+[1+1]+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+((2)+(2))+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+3+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b3d35a4e0651bc1b3dfeb5649ba439e99ec410)
![{\displaystyle (2)+(6){\xrightarrow {\quad P\quad }}[1+1]+[3+3]{\xrightarrow {\quad U\quad }}2+6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fe49efa996cfa3036780f978b6bc45cc06fb0f)
![{\displaystyle (8){\xrightarrow {P}}[(4)+(4)]{\xrightarrow {P}}[(2)+(2)]+[(2)+(2)]{\xrightarrow {P}}[1+1]+[1+1]+[1+1]+[1+1]{\xrightarrow {U}}(2+2)+(2+2){\xrightarrow {U}}(4+4){\xrightarrow {U}}8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8060aef7c3dd7d6b87093ca32eabc83ce9d8ad32)