数論 、特に局所類体論 (英語版 ) における分岐群 (ぶんきぐん、英 : ramification group )とは、局所体 のガロア群 のフィルトレーション (英語版 ) であり、体拡大における分岐 の現象について詳細な情報を提供してくれるものである。
付値の分岐理論 (ramification theory of valuations)は、体 K の付値 v の K の拡大体 L への延長 の集合を研究する数学 の理論。デデキント環の分岐理論の一般化である
[ 1]
[ 2] 。
L /K がガロア拡大 のとき、付値の延長からなる集合の構造は詳しく知ることができる。
(K , v ) を付値体 、L を K の有限次 ガロア拡大 とする。Sv を v の L への延長の同値 類 からなる集合とし、G を L の K 上のガロア群 とする。このとき、G は Sv に σ[w ] = [w ∘ σ] で作用する。つまり、w を同値類 [w ] ∈ Sv の代表元 としたとき、[w ] の行き先を自己同型 σ : L → L と w の合成 が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは [w ] の代表元 w の取り方によらない。この作用は推移的 である。
v の L への延長 w を1つとる。w の分解群 (decomposition group of w )とは、[w ] の固定部分群 Gw (同値類 [w ] ∈ Sv を固定する G の元全体からなる部分群 )のことを言う。
Rw を w についての付値環 、mw をその極大イデアル とする。w の惰性群 (inertia group of w )とは、Gw の元 σ で Rw の全ての元 x に対して σx ≡ x (mod mw )が成り立つもの全体からなる部分群 Iw のことである。言い換えると、Iw は分解群の要素で w に関する剰余体 に自明に作用 するもの全体である。これは Gw の正規部分群 である。
被約分岐指数 (英語版 ) [訳語疑問点 ] e (w /v ) は w によらないので、e (v ) と表す。同様に、剰余次数 (または相対次数、relative degree)f (w /v ) も w によらないので、f (v ) と表す。
局所体 [ 3] の有限次ガロア拡大
L
/
K
{\displaystyle L/K}
のガロア群
G
{\displaystyle G}
の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。
K
{\displaystyle K}
の整数環を
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
と置き、
L
{\displaystyle L}
の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ
w
,
O
L
,
p
{\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}
とする。ヘンゼルの補題 により、ある
α
∈
L
{\displaystyle \alpha \in L}
を使って
O
L
=
O
K
[
α
]
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}
と書くことができる(これは原始元定理 より強い主張である)[ 4] 。整数
i
≥
−
1
{\displaystyle i\geq -1}
に対して、
G
i
{\displaystyle G_{i}}
を次の同値な条件を満たす
s
∈
G
{\displaystyle s\in G}
全体の集合として定義する。
(i)
s
{\displaystyle s}
は
O
L
/
p
i
+
1
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}}
に自明に作用する
(ii) 全ての
x
∈
O
L
{\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}
について
w
(
s
(
x
)
−
x
)
≥
i
+
1
{\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}
が成り立つ
(iii)
w
(
s
(
α
)
−
α
)
≥
i
+
1
{\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1}
この群
G
i
{\displaystyle G_{i}}
のことを
i
{\displaystyle i}
次分岐群 (
i
{\displaystyle i}
-th ramification group)という。これらは減少フィルトレーション (英語版 )
G
−
1
=
G
⊃
G
0
⊃
G
1
⊃
…
{
∗
}
{\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}}
を定める。(i) より
G
i
{\displaystyle G_{i}}
は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな
i
{\displaystyle i}
に対して自明 になることが分かる。
G
0
{\displaystyle G_{0}}
は、ガロア拡大での素イデアルの分解 との関係に鑑み、慣例的に
G
{\displaystyle G}
の惰性部分群 (英語版 ) と呼ばれている。
G
1
{\displaystyle G_{1}}
は
G
{\displaystyle G}
の野生分岐群 (英語版 ) (または暴分岐群、wild inertia subgroup)、商
G
0
/
G
1
{\displaystyle G_{0}/G_{1}}
は馴商 [訳語疑問点 ] (tame quotient)と呼ばれている。
ガロア群
G
{\displaystyle G}
とその部分群
G
i
{\displaystyle G_{i}}
はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。
G
/
G
0
=
Gal
(
l
/
k
)
{\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k)}
が成り立つ。
l
,
k
{\displaystyle l,k}
は
L
,
K
{\displaystyle L,K}
の剰余体(有限体である)[ 5] 。
G
0
=
1
⇔
L
/
K
{\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}
は不分岐拡大
G
1
=
1
⇔
L
/
K
{\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}
は従順分岐 (英語版 ) (tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること)
i
≥
0
{\displaystyle i\geq 0}
に対して
G
i
=
(
G
0
)
i
{\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}
が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。
G
{\displaystyle G}
上の関数
i
G
{\displaystyle i_{G}}
を、
s
∈
G
{\displaystyle s\in G}
に対して
i
G
(
s
)
=
w
(
s
(
α
)
−
α
)
{\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha )}
として定義する。先ほどの (ii) から
i
G
{\displaystyle i_{G}}
は
α
{\displaystyle \alpha }
の取り方によらない。また、フィルトレーション
G
i
{\displaystyle G_{i}}
の研究は本質的に
i
G
{\displaystyle i_{G}}
の研究と同値である[ 6] 。
s
,
t
∈
G
{\displaystyle s,t\in G}
に対して、
i
G
{\displaystyle i_{G}}
は次を満たす。
i
G
(
s
)
≥
i
+
1
⇔
s
∈
G
i
{\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}}
i
G
(
t
s
t
−
1
)
=
i
G
(
s
)
{\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s)}
i
G
(
s
t
)
≥
min
{
i
G
(
s
)
,
i
G
(
t
)
}
{\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}}
π
{\displaystyle \pi }
を
L
{\displaystyle L}
の素元とすると、
s
↦
s
(
π
)
/
π
{\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }
は単射
G
i
/
G
i
+
1
→
U
L
,
i
/
U
L
,
i
+
1
,
i
≥
0
{\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}
を誘導する。ここで、
U
L
,
0
=
O
L
×
,
U
L
,
i
=
1
+
p
i
{\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}
である。この写像は素元の取り方によらない[ 7] 。これを使うと次がわかる [ 8] 。
G
0
/
G
1
{\displaystyle G_{0}/G_{1}}
は位数が
p
{\displaystyle p}
と互いに素な巡回群
G
i
/
G
i
+
1
{\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}
は位数が
p
{\displaystyle p}
の巡回群の積
特に、
G
1
{\displaystyle G_{1}}
は p 群 で、
G
0
{\displaystyle G_{0}}
は可解群 である。
G
/
G
0
{\displaystyle G/G_{0}}
は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって(局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた)
G
{\displaystyle G}
は可解群である。
分岐群を使って、体拡大
L
/
K
{\displaystyle L/K}
やその部分拡大の共役差積 (英語版 )
D
L
/
K
{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}
を計算することもできる[ 9] 。次が成り立つ
w
(
D
L
/
K
)
=
∑
s
≠
1
i
G
(
s
)
=
∑
i
=
0
∞
(
|
G
i
|
−
1
)
{\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1)}
H
{\displaystyle H}
を
G
{\displaystyle G}
の正規部分群とすると、
σ
∈
G
{\displaystyle \sigma \in G}
に対して
i
G
/
H
(
σ
)
=
1
e
L
/
K
∑
s
↦
σ
i
G
(
s
)
{\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}
が成り立つ[ 10] 。
これと先ほどの式をあわせると、
H
{\displaystyle H}
に対応する部分拡大
F
/
K
{\displaystyle F/K}
に対して
v
F
(
D
F
/
K
)
=
1
e
L
/
F
∑
s
∉
H
i
G
(
s
)
{\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s)}
が成り立つ。
s
∈
G
i
,
t
∈
G
j
,
i
,
j
≥
1
{\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}
とすると、
s
t
s
−
1
t
−
1
∈
G
i
+
j
+
1
{\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}
が成り立つ[ 11] 。ラザール (英語版 ) の言葉を使うならば、これはリー代数
gr
(
G
1
)
=
∑
i
≥
1
G
i
/
G
i
+
1
{\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}
がアーベルであるということになる。
ζ
{\displaystyle \zeta }
を1の原始
p
n
{\displaystyle p^{n}}
乗根 とする。円分拡大
K
n
:=
Q
p
(
ζ
)
/
Q
p
{\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}
の分岐群は次のように具体的に計算できる[ 12] 。
G
s
=
G
a
l
(
K
n
/
K
e
)
{\displaystyle G_{s}=Gal(K_{n}/K_{e})}
ここで e は
p
e
−
1
≤
s
<
p
e
{\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}
となるものである。
K を Q 2 上
x
1
=
2
+
2
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}}
で生成される拡大体とする。x1 の共役は
x
2
=
2
−
2
{\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }}}
と x 3 = −x 1 と x 4 = −x 2 である。
簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数 であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを π と置く。
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
は π 2 を生成し、(2)=π 4 である。
x 1 − x 3 = 2x 1 で、これは π 5 に入る。
x
1
−
x
2
=
4
−
2
2
{\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}}}
は π 3 に入る。
計算方法は色々あるが、K のガロア群は位数 4 の巡回群
C
4
{\displaystyle C_{4}}
であることが分かる[ 13] 。そして、
G
0
=
G
1
=
G
2
=
C
4
{\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}}
かつ
G
3
=
G
4
=
(
13
)
(
24
)
{\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24)}
である[ 14] 。
w
(
D
K
/
Q
2
)
=
3
+
3
+
3
+
1
+
1
=
11
{\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11}
なので、共役差積は
D
K
/
Q
2
=
π
11
{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}
となる。
x 1 は x 4 − 4x 2 + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 211 である。
u
≥
−
1
{\displaystyle u\geq -1}
である実数
u
{\displaystyle u}
に対して、
G
u
{\displaystyle G_{u}}
を
i
≥
u
{\displaystyle i\geq u}
である最小の整数 i の
G
i
{\displaystyle G_{i}}
として定義する。
s
∈
G
u
⇔
i
G
(
s
)
≥
u
+
1
{\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1}
となるように定義する、と言ってもいい。
関数
ϕ
{\displaystyle \phi }
を
ϕ
(
u
)
=
∫
0
u
d
t
(
G
0
:
G
t
)
{\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}
で定義する[ 15] 。ここで、
t
=
−
1
{\displaystyle t=-1}
に対しては
(
G
0
:
G
t
)
{\displaystyle (G_{0}:G_{t})}
は
(
G
−
1
:
G
0
)
−
1
{\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}
とし、
−
1
<
t
≤
0
{\displaystyle -1<t\leq 0}
に対しては
1
{\displaystyle 1}
とする[ 16] 。定義により
−
1
≤
u
≤
0
{\displaystyle -1\leq u\leq 0}
に対して
ϕ
(
u
)
=
u
{\displaystyle \phi (u)=u}
が成り立つ。
ϕ
{\displaystyle \phi }
が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数
ψ
{\displaystyle \psi }
であって
[
−
1
,
∞
)
{\displaystyle [-1,\infty )}
上定義されたものが存在する。
G
v
=
G
ψ
(
v
)
{\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}
と定義する。
G
v
{\displaystyle G^{v}}
を第 v 上付き分岐群 (v -th ramification group in upper numbering)という。言い換えれば
G
ϕ
(
u
)
=
G
u
{\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}
である。
G
−
1
=
G
,
G
0
=
G
0
{\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}
が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており[ 17] 、
H
{\displaystyle H}
が
G
{\displaystyle G}
の正規部分群なら、全ての
v
{\displaystyle v}
に対し
(
G
/
H
)
v
=
G
v
H
/
H
{\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}
が成り立つ。
(一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。)
エルブランの定理 は、下付き分岐群について
G
u
H
/
H
=
(
G
/
H
)
v
{\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}
が成り立ち(
H
{\displaystyle H}
に対応する部分拡大を
L
/
F
{\displaystyle L/F}
とし、
v
=
ϕ
L
/
F
(
u
)
{\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}
とおいている)、上付き分岐群について
G
u
H
/
H
=
(
G
/
H
)
u
{\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}
が成り立つという主張である[ 18] [ 19] 。これから、局所体の絶対ガロア群 をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。
アーベル拡大の上付き分岐群について、ハッセ・アルフの定理 (英語版 ) という定理が知られている。これは、
G
{\displaystyle G}
がアーベルならフィルトレーション
G
v
{\displaystyle G^{v}}
の跳躍は整数、つまり
ϕ
(
i
)
{\displaystyle \phi (i)}
が整数でなかったら
G
i
=
G
i
+
1
{\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}
が成り立つという定理である[ 20] 。
上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群(norm residue group)のフィルトレーションと、アルティン同型写像 のもとで両立する。すなわち、同型写像
G
(
L
/
K
)
a
b
↔
K
∗
/
N
L
/
K
(
L
∗
)
{\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}
による
G
n
(
L
/
K
)
{\displaystyle G^{n}(L/K)}
の像は、ちょうど
U
K
n
/
(
U
K
n
∩
N
L
/
K
(
L
∗
)
)
{\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))}
になる[ 21] 。
^ Fröhlich, A. ; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory . Cambridge studies in advanced mathematics. 27 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X . Zbl 0744.11001
^ Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1976) [1960]. Commutative algebra, Volume II . Graduate Texts in Mathematics . 29 . New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Chapter VI. ISBN 978-0-387-90171-8 . Zbl 0322.13001
^
剰余体が有限体、特に完全体であることを仮定している。非完全な剰余体への一般化も存在する。『分岐理論と有限平坦 Galois表現 』参照。
^ Neukirch (1999) p.178
^
G
/
G
0
{\displaystyle G/G_{0}}
は分解群と標準的に同型であることによる。
^ Serre (1979) p.62
^ Conrad
^ これは
U
L
,
0
/
U
L
,
1
≃
l
×
{\displaystyle U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }}
と
U
L
,
i
/
U
L
,
i
+
1
≈
l
+
{\displaystyle U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}}
であることによる。
^ Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64
^ Serre (1979) 4.1. Prop.3, p.63
^ Serre (1979) 4.2. Proposition 10.
^ Serre, Corps locaux . Ch. IV, §4, Proposition 18
^
x 2 = (x 1 2 - 2)/x 1 が成り立つので、K は x 1 の共役を全て含み、K は Q 2 上のガロア拡大 であることが分かる。σ をこのガロア拡大のガロア群の元で σ(x 1 ) = x 2 となるものとする。簡単な計算から、σ(x 2 ) = x 3 , σ(x 3 ) = x 4 , σ(x 4 ) = x 1 が分かり、これから σ は位数 4 の元である。まとめると、K は Q 2 上の4次のガロア拡大で、そのガロア群は位数4の巡回群である。
^
#下付き分岐群 の定義に現れる α として x1 をとり、分岐群の定義と x 1 − x 3 の計算結果を使うと確かめられる。
^ Serre (1967) p.156
^ Neukirch (1999) p.179
^ Serre (1967) p.155
^ Neukirch (1999) p.180
^ Serre (1979) p.75
^ Neukirch (1999) p.355
^ Snaith (1994) pp.30-31
服部新 (2007年12月3日). “分岐理論と有限平坦Galois表現 ” (pdf). 2021年10月24日 閲覧。
B. Conrad, Math 248A. Higher ramification groups
Fröhlich, A. ; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory . Cambridge studies in advanced mathematics. 27 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X . Zbl 0744.11001
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Serre, Jean-Pierre (1967). “VI. Local class field theory”. In Cassels, J.W.S. ; Fröhlich, A. . Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union . London: Academic Press. pp. 128–161. Zbl 0153.07403
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