利用者:おここいうゆ/下書き

（戸田格子）

戸田格子（とだこうし、英語: Toda Lattice）とは、戸田盛和によって発見された可積分系で、指数関数的ポテンシャルを持つ1次元の格子である。

戸田格子

$a$、$g$ を定数として、戸田格子のハミルトニアンは、質量を $m=1$ として、

$H={\frac {1}{2}}\sum _{i}p_{i}^{2}+\sum _{i}(g^{2}e^{-u}+au)$

で定義される。$g$ は結合定数と呼ばれる。運動方程式は

${\frac {d^{2}q_{i}}{dt^{2}}}=g^{2}e^{q_{i-1}-q_{i}}-g^{2}e^{q_{i}-q_{i+1}}$

となる。

（結晶基底）

結晶基底（けっしょうきてい、英語: crystal base）は量子群の表現の基底のひとつ。柏原正樹によって導入された。ジョージ・ルスティックによって発見された標準基底には、$q\to \infty$ において一致する。

定義

$U_{q}({\mathfrak {g}})$ を量子群、$W$ を可積分な $U_{q}({\mathfrak {g}})$-加群とする。また　$A$ を $\mathbb {Q} (q)$ における有理関数のうち $q=0$ で正則なもの全体、$L$ を $W$ の $A$-部分加群、$B$ を $L/qL$ の基底として、次を満たす組 $(L,B)$ を結晶基底という:

• (1) $W$ をウェイトによって分解し $W=\bigoplus _{\lambda }W_{\lambda }$ としたとき、$L=\bigoplus _{\lambda }L_{\lambda }$、$B=\bigsqcup _{\lambda }L_{\lambda }$。但し、$L_{\lambda }=L\cap W_{\lambda }$、$B_{\lambda }=B\cap L_{\lambda }/qL_{\lambda }$ とした。
• (2) 任意の $i$ に対して、${\tilde {e}}_{i}(L)\subset L$、${\tilde {f}}_{i}(L)\subset L$ が成り立つ。
• (3) 任意の $i$ に対して、${\tilde {e}}_{i}(B)\subset B\sqcup \{0\}$、${\tilde {f}}_{i}(B)\subset B\sqcup \{0\}$ が成り立つ。
• (4) 任意の $b,b'\in B$ 及び任意の $i$ に対して、${\tilde {e}}_{i}(b)=b'\Leftrightarrow {\tilde {f}}_{i}(b')=b$。

参考文献

• Masaki Kashiwara (1990). Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras. 121. Commun. Math. Phys.. pp. 249-260. http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104201397. 
• George Lusztig (1990). Canonical bases arising from quantized enveloping algebras. 3. Journal of the American Mathematical Society. pp. 447–498. http://www.ams.org/journals/jams/1990-03-02/S0894-0347-1990-1035415-6/.