利用者:ふぃろそふぃ/sandbox/フーリエ級数

フーリエ級数などについて

フーリエ級数

周期T、角周波数ω=2π/Tの関数f(t)のフーリエ級数は次のように表される。

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)\right\}$

ただし、

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\,(n=0,1,2,3\cdots )\\b_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)\,dt,\,(n=1,2,3\cdots )\end{aligned}}$

三角関数の積分

m≠nのとき

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(m\omega t)\cos(n\omega t)\,dt=0$

${\begin{aligned}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos(m\omega t)\cos(n\omega t)\,dt&={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\left\{\cos((m-n)\omega t)+\cos((m+n)\omega t)\right\}\,dt\\&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\sin((m-n)\omega t)}{(m-n)\omega }}+{\frac {\sin((m+n)\omega t)}{(m+n)\omega }}\right]_{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\\&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(m\omega t)\sin(n\omega t)\,dt&={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\left\{\cos((m-n)\omega t)-\cos((m+n)\omega t)\right\}\,dt\\&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\sin((m-n)\omega t)}{(m-n)\omega }}-{\frac {\sin((m+n)\omega t)}{(m+n)\omega }}\right]_{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\\&=0\end{aligned}}$

m=nのとき

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(n\omega t)\cos(n\omega t)\,dt=0$

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos ^{2}(n\omega t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\left\{1+\cos(2n\omega t)\right\}\,dt={\frac {1}{2}}\left[t+{\frac {\sin(2n\omega t)}{2n\omega }}\right]_{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}={\frac {T}{2}}$

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(n\omega t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\left\{1-\cos(2n\omega t)\right\}\,dt={\frac {1}{2}}\left[t-{\frac {\sin(2n\omega t)}{2n\omega }}\right]_{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}={\frac {T}{2}}$

a
nの導出

フーリエ級数の両辺を積分すると

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,dt={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\,dt+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos(n\omega t)\,dt+b_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(n\omega t)\,dt\right\}$

cos、sinともに1周期で積分すると0なので

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,dt=a_{0}{\frac {T}{2}}$

整理すると

$a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,dt$

また、フーリエ級数の両辺にcos(mωt)をかけて積分すると

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(m\omega t)\,dt={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos(m\omega t)\,dt+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos(m\omega t)\cos(n\omega t)\,dt+b_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos(m\omega t)\sin(n\omega t)\,dt\right\}$

cosの1周期積分は0かつ、cosとsinの積の1周期積分も常に0となるので

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(m\omega t)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\cos(m\omega t)\cos(n\omega t)\,dt\right\}$

この式の右辺の積分は、n≠mのときは値が0となるが、n=mになったときに限り値がT/2となるので

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(m\omega t)\,dt=a_{m}{\frac {T}{2}}$

整理すると

$a_{m}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(m\omega t)\,dt$

mをnに置き換えてやれば

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\,(n=1,2,3\cdots )$

また、先にa
0の導出をしているが、これは

$a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(0\omega t)\,dt$

となっているとみなせるので、n=0のときもまとめて

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\,(n=0,1,2,3\cdots )$

と書ける。

b
nの導出

フーリエ級数の両辺にsin(mωt)をかけて積分すると

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\sin(m\omega t)\,dt={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(m\omega t)\,dt+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(m\omega t)\cos(n\omega t)\,dt+b_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(m\omega t)\sin(n\omega t)\,dt\right\}$

sinの1周期積分は0かつ、sinとcosの積の1周期積分も常に0となるので

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\sin(m\omega t)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }\left\{b_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\sin(m\omega t)\sin(n\omega t)\,dt\right\}$

この式の右辺の積分は、n≠mのときは値が0となるが、n=mになったときに限り値がT/2となるので

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\sin(m\omega t)\,dt=b_{m}{\frac {T}{2}}$

整理すると

$b_{m}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\sin(m\omega t)\,dt$

mをnに置き換えてやれば

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)\,dt,\,(n=1,2,3\cdots )$

となる。

複素フーリエ級数

上記と同様の場合、虚数単位をjで表すとして複素フーリエ級数は次のようになる。

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp(jn\omega t)$

ただし、

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\exp(-jn\omega t)\,dt,\,(n\in Z)$

複素指数関数の積分

m≠nのとき

${\begin{aligned}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\exp(jn\omega t)\exp(-jm\omega t)\,dt&=\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\exp\{j(n-m)\omega t\}\,dt\\&=\left[{\frac {\exp\{j(n-m)\omega t\}}{j(n-m)\omega }}\right]_{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\\&={\frac {\exp\{j(n-m)\pi \}-\exp\{-j(n-m)\pi \}}{j(n-m)\omega }}\\&={\frac {2\sin\{(n-m)\pi \}}{(n-m)\omega }}\\&=0\end{aligned}}$

m=nのとき

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\exp(jn\omega t)\exp(-jn\omega t)\,dt=\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\,dt=T$

c
nの導出

複素フーリエ級数の両辺にexp(-jmωt)をかけて積分すると

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\exp(-jm\omega t)\,dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{c_{n}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\exp(jn\omega t)\exp(-jm\omega t)\,dt\right\}$

右辺の積分は、n≠mのときは値が0となるが、n=mになったときに限り値がTとなるので

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\exp(-jm\omega t)\,dt=c_{m}T$

整理すると

$c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\exp(-jm\omega t)\,dt$

mをnに置き換えてやれば

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\exp(-jn\omega t)\,dt,\,(n\in Z)$

となる。