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リーマン・シーゲルの公式とは、リーマンゼータ関数に関する近似関数等式とも呼ばれ、二つの有限なディリクレ級数と誤差項の和によって表される。この公式はSiegelによって、1850年代のBernhard Riemann (1859)　の未出版の遺稿から発見された。Siegelはそれを、Riemann–Siegel formulaとゼータ関数の路に沿う積分から正確に導いた。この公式はリーマンゼータ関数の具体的な近似値を計算する際にしばしば用いられ、さらに計算速度を上げるためにOdlyzko–Schönhage algorithmと組み合わせて使われることもある。リーマンゼータ関数$\zeta (s)$の変数$s$の実部が$1/2$の場合には式が簡便になり、いわゆるZ functionと呼ばれる式に変形することによって利便性が向上する。

リーマン・シーゲルの公式は$N$と$M$が負でない整数のに対して次のように表される。

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)$

ここで、

$\gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}$

はζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)にも現れる因子であり、

$R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx$

は、始点と終点を+∞とした周回積分であり、その積分路領域には高々絶対値 2πMの特異点を持つ。つまり、この項を近似関数等式の誤差項と考え、その大きさの推定値を与える。SiegelとHarold_Edwards_(mathematician)はこの積分に最急降下法を用いて、Im(s)の負のべき乗級数のような誤差項R(s)の漸近を拡張した。機械計算する場合、通常$s$の実部は$1/2$であり、正の整数NとMは約 (2πIm(s))^1/2が採用される。Gabckeはリーマン・シーゲルの公式の誤差の見積もりを向上させた。

リーマンの積分公式

リーマンは

$\int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}$

を示した。ここで積分路は0から1を勾配−1の直線にて通る (Edwards 1974, 7.9)。

彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。

$\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx$

参考文献

• Berry, Michael V. (1995), “The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders”, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences 450 (1939): 439–462, doi:10.1098/rspa.1995.0093, ISSN 0962-8444, MR1349513, Zbl 0842.11030 
• Edwards, H.M. (1974), Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, 58, New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035 
• Gabcke, Wolfgang (1979) (German), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen, Zbl 0499.10040, http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8 
• Patterson, S.J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029 
• Siegel, C. L. (1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

外部リンク

• Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.html 
• Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Formula". mathworld.wolfram.com (英語).

リーマンゼータ関数の部分和とは、無限級数であるリーマンゼータ関数を部分和とした

　$P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-s}$

である。当然、リーマンゼータ関数とは$\lim _{n\to \infty }P_{s}(n)=\zeta (s)$という関係にある。

リーマンゼータ関数の部分和は、$s=\sigma +it$とした場合に

　$P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-\sigma }e^{-it\ln k}=\sum _{k=1}^{n}k^{-\sigma }\{\cos(-t\ln k)+i\sin(-t\ln k)\}$

によって、$n$が整数であれば全ての$s$に対して初等的に求めることができる。

軌跡

リーマンゼータ関数の部分和を$n$を順次変化させて複素平面上にプロットしていくと、$n$が増加すると螺旋状の軌跡が現れ始める。これは$t$と関係があり、

　$n\geq t/\pi$

の場合は対数螺旋に近似する軌跡が現れ、

　$t/\pi (2j-3)>n\geq t/\pi (2j-1)\quad (j=1,2,3,4,\cdots )$

の場合にはコルニュ螺旋に近似する軌跡が現れる。

$P_{s}(n)$に関して現れる対数螺旋に近似した軌跡の中心を$C_{s,0}$とし、またコルニュ螺旋の先に現れる（$n$が小さい側に現れる）方の中心を$C_{s,j}$とすると、次のような特徴が観測できる。

1. $C_{s,0}=\zeta (s)$
2. $C_{s,k}$と$C_{s,k+1}$の距離は$k^{\sigma -1}({\frac {t}{2\pi }})^{{\frac {1}{2}}-\sigma }$、偏角は$-(t\ln {\frac {t}{2\pi k}}-k\pi {\frac {t}{k\pi }}+\pi -{\frac {\pi }{4}})=t\ln {\frac {2\pi k}{t}}+t-{\frac {3}{4}}\pi$ ただし、$s=\sigma +it$

以上の特徴から、リーマンゼータ関数の部分和の軌跡を遡る軌跡を示す関数を作ることができ、

　$\sum _{k=1}^{n}k^{\sigma -1}\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{{\frac {1}{2}}-\sigma }\cdot \exp i(t\ln {\frac {2\pi k}{t}}+t-{\frac {3}{4}}\pi )=\sum _{k=1}^{n}k^{s-1}\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{{\frac {1}{2}}-s}\cdot \exp i(t-{\frac {3}{4}}\pi )$

となるが、$\sigma ={\frac {1}{2}}$のときには、

　$\sum _{k=1}^{n}k^{-{\overline {s}}}\cdot \exp i(t-{\frac {3}{4}}\pi -t\ln \left({\frac {t}{2\pi }}\right))=P_{\overline {s}}(n)\cdot \exp i(t-{\frac {3}{4}}\pi -t\ln \left({\frac {t}{2\pi }}\right))$

となり、$P_{s}(n)$と線対称の関係であることが解る。

参考文献

• Carl Erickson, A Geometric Perspective on the Riemann Zeta Function's Partial Sums, 2005.
• P. Borwein, G. Fee, R. Ferguson, and A. van der Waall, Zeros of partial sums of the Riemann zeta-function, Exp. Math. 16 (2007), 21-40.
• S. M. Gonek and A. H. Ledoan, Zeros of partial sums of the Riemann Zeta-function, Int. Math. Res. Not. 2010, 1775-1791.
• Lorenzo Menici,Zeros of the Riemann Zeta-function on the critical line,2012

ゼータ関数の部分和

リーマンゼータ関数を部分和にした

　$P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-s}$

を複素平面上にプロットした時、$s$の虚部に対して$n$が十分大きくなると対数螺旋のような軌跡を描く。

その軌跡の中心は元となったゼータ関数の値に近似していることが観測されており、この方法で$s$の虚部を十分小さくするとやはり$-{\frac {1}{12}}$へ近似する。