利用者:サンポーニャ/数式サブページ

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対数関数を微分すると分数関数になる証明。

あ、$\lim _{h\to 0}$が付いてません…。

${\frac {d}{dx}}\ln \left(x\right)={\frac {\ln \left(x+h\right)-\ln \left(x\right)}{h}}$

${\frac {\ln \left(x+h\right)-\ln \left(x\right)}{h}}={\frac {\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)}{h}}$

${\frac {\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)}{h}}={\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)={\frac {1}{x}}{\frac {x}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)={\frac {1}{x}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\left({\frac {x}{h}}\right)}={\frac {1}{x}}ln\left(e\right)={\frac {1}{x}}$

問いイチ？

$\lim _{x\to e}{\frac {1}{x-e}}\int _{e}^{x}e^{t}\ln(t)\,dt=(1)$

これは、$x-e=h$として、

$\int e^{x}\ln(x)\,dx=F\left(x\right)\quad ,\quad \left(F\left(x\right)\right)^{\prime }=e^{x}\ln(x)$と定めると、 $(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{e}^{e+h}e^{t}\ln(t)\,dt=\lim _{h\to 0}{\frac {F\left(e+h\right)-F\left(e\right)}{h}}$

となり、これは微分係数の定義であるから、 $(1)=\left(F\left(e\right)\right)^{\prime }=e^{e}\ln(e)=e^{e}$

部分積分？

部分積分の証明のつもりだったと思うんだけど…。

$\{f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\}^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)$

両辺を積分してもこれは成り立つ。

$\int \{f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\}^{\prime }\,dx=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\,dx+\int f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)\,dx$

$[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\,dx+\int _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)\,dx$

入れ替えて、

$\int _{a}^{b}f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\,dx=[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)\,dx$

これを用いると、$\int \log x\,dx$のような積分が可能になる。

問2間違ってたから訂正･･･

$\int _{}f^{\prime }\,(x)xg(x)dx$

線形代数

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1(n-1)}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &&&\vdots \\a_{n1}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}$

面倒なので以下$A=\{a_{ij}\}(1\leq i,j\leq n)$の様に表示する。ベクトルも同様。 ${\overrightarrow {x}}$は、$\mathbf {x}$と表記。

$\mathbf {x} _{0}=\{x_{0i}\}(1\leq i\leq n)\quad ,\quad \mathbf {x} _{\left(s\right)}=\{x_{\left(s\right)i}\}(1\leq i\leq n)\quad ,\quad \mathbf {y} =\{y_{i}\}(1\leq i\leq n)\quad ,\quad \mathbf {b} =\{b_{i}\}(1\leq i\leq n)$ として、 $A\mathbf {x} _{0}=\{\sum _{i=1}^{n}(a_{ki}\cdot x_{0i})\}(1\leq k\leq n)=\mathbf {0}$ $A\mathbf {x} _{\left(s\right)}=\{\sum _{i=1}^{n}(a_{ki}\cdot x_{\left(s\right)i})\}(1\leq i\leq n)=\mathbf {b} \quad ,\quad A\mathbf {y} =\{\sum _{i=1}^{n}(a_{ki}\cdot y_{i})=\mathbf {b}$である。$t\in \mathbb {R}$として、 $tA\mathbf {x} _{0}=At\mathbf {x} _{0}=\{\sum _{i=1}^{n}(t\cdot a_{ki}\cdot x_{0i})\}(1\leq k\leq n)=\{t\cdot 0\}=\mathbf {0}$また、 $A\left(\mathbf {x} _{\left(s\right)}+t\mathbf {x} _{0}\right)$ $=\{\sum _{i=1}^{n}a_{ki}\cdot (x_{\left(s\right)i}+x_{0i})\}$ $=\{\sum _{i=1}^{n}(a_{ki}\cdot x_{\left(s\right)i}+a_{ki}\cdot x_{0i})\}$ $=\{b_{i}+0\}(1\leq i\leq n)=\{b_{i}\}=\mathbf {b}$ つまり、$\mathbf {y} =\mathbf {x} _{\left(s\right)}+t\mathbf {x} _{0}(t\in \mathbb {R} )$