利用者:ザな

以下は編集のため 2023年の wikipedia内の "浮動小数点数"をコピーして変更したもの

浮動小数点数（ふどうしょうすうてんすう、floating-point number）は、実数をコンピュータで演算や記憶するために、有限桁2進数の小数で近似値として扱う方式。

概要

実数は0以上かつ1以下のような有限の範囲でも、無限個の値(種類)が存在するため、コンピュータでは妥当なビット数で有限個の値(種類)の近似値で扱う必要がある。

実数-1/3は無限小数となるが、有限桁の小数で近似値を表記できる。下の例では10進数での4桁としている。

-1/3

-1 x 0.33333333333333...

-1 x 0.3333 x 10⁰

-1 x 3.333 x 10^-1

下の2つの表記は科学記数法(scientific notation)とよばれ、小数点より左側の整数部分を1桁とする。 科学記数法のうち、左側の1桁を0以外(10進表記では1から9)にしたものを、正規化数(normalized number)とよび、 一番下の表記が該当する。

実数-1/3はまた、有限桁2進数の小数でも、近似値で表記できる。下の例では2進数17桁としている。

-1/3

-1 x 0.01010101010101010101010101010101...

-1 x 0.0101010101010101

-1 x (2^-2 + 2^-4 + 2^-6 + 2^-8 + 2^-10 + 2^-12 + 2^-14 + 2^-16)

-1 x (1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + 1/4096 + 1/16384 + 1/65536)

-0.333328247(近似値の10進数表記)

2進数の小数も科学記数法で表記できる。

-1 x 0.0101010101010101 x 2⁰

-1 x 0.101010101010101 x 2^-1

-1 x 1.01010101010101 x 2^-2

上記は同じ値を、小数点位置を移動し異なる表記にしているため、浮動小数点と呼ばれる。一番下の表記は、正規化数である。

コンピュータ処理に適した暗黙の基数2について、符号(sign)S、仮数(significand)F、指数(exponent)Eにより、 浮動小数点数は下記の式で表記できる。

(-1)^S x F x 2^E

有限桁2進数(ビット列)への数値の割当

現在のコンピュータでは処理の効率化や共通化のため、8bit==1Byteを最小単位とし、その整数倍の8bitや32bit、64bitの処理単位に対して演算や転送、記憶などの命令の対象であるオペランドとしている。

整数の割当

浮動小数点数の前に、整数の扱いを記す。

8bitであれば0x00(00000000)から0xff(11111111)までの2⁸==256種類があり、符号無整数なら0から(2⁸-1)==255にそれぞれ割り当てる。

00000000 = 0x00 = 0

00000001 = 0x01 = 1

:

11111110 = 0xfe = 254

11111111 = 0xff = 255

8bitで符号付整数なら、最上位ビット0x80を符号ビットとして-2⁷とする。

00000000 = 0x00 = 0

00000001 = 0x01 = 1

:

01111110 = 0x7e = 126

01111111 = 0x7f = 127

10000000 = 0x80 = -128

10000001 = 0x81 = -127

:

11111110 = 0xfe = -2

11111111 = 0xff = -1

上記の符号付整数は、2の補数(two's complement)表現といい、処理の効率化などから標準的なものである。 過去には、符号ビットと絶対値、1の補数表現などが存在した。

浮動小数点数の割当

浮動小数点数は、符号(sign)S、仮数(significand)F、指数(exponent)Eにより表現できる。

(-1)S x F x 2^E

このS、F、Eの3組を適当な長さのビット列に割当てる必要がある。

上記は現在の標準規格であるIEEE_754の倍精度浮動小数点数64bitである。 最上位のビット63には、符号ビットとしてSを割当てる。 下位のビット0からビット51までの52ビットで仮数を表現する。仮数Fは正規化した場合に、小数点より左の最上位1ビットが必ず1になるため、これを省略し小数点以下の52ビットを仮数部fに割当てる。 すなわち、仮数Fと仮数部fとは以下の関係になる。

F = 1 + f

残りのビット52からビット62の11ビットで、指数部eに割当てる。 最上位に符号ビット、次に指数部、下位に仮数部というIEEE 754の割当て順序は、 できるだけ整数の表現と近いものにして 整数の大小比較命令などを、浮動小数点数にも利用しやすくすることを狙っている。 指数部を2の補数表現とすると、(符号なし整数で見た場合に)負の値が正の値より大きく見えるため、不適当である。 そのため1番大きな正の指数をall 1のビット列で表し、1番小さい負の指数をall 0のビット列で表す。これをゲタばき表現(biased representation)とよび、指数部から引く定数をゲタ(bias)とよぶ。IEEE 754の倍精度浮動小数点数のゲタは、1023=(2¹⁰-1)である。

IEEE 754 倍精度浮動小数点数

符号部	指数部	仮数	内容
0/1	0	0	±0
0/1	0	≠0	±不正規化数
0/1	1-2046	任意	±浮動小数点数
0/1	2047(0x7ff)	0	±無限大
0/1	2047(0x7ff)	≠0	NaN(非数)

浮動小数点数の構造

浮動小数点数では次のデータで数値を表現する。

• 仮数
  • （仮数の）符号
  • （値が0ではない場合、1以上で基数未満の、または、1以下の）仮数の絶対値
• 基数（1より大きい整数）
• 指数（符号付き整数）

現在広く使われている表現方法ではいずれも基数を固定しており、明示的に符号化しないため、実際に符号化されるのは、次の3つである。

• 符号部（1ビット）
• 仮数部（符号なし整数）
• 指数部（符号付き整数）

浮動小数点数では、数値の絶対値は（仮数部）×（基数）^{（指数部）}となる。たとえば、0.5を浮動小数点数で表すと、基数が10の場合は5.0×10⁻¹（5.0e-1）、基数が2の場合は1.0 × 2⁻¹となる。

$$1.2345=\underbrace {12345} _{\text{仮 数 部}}\times \underbrace {10} _{\text{基 数}}\!\!\!\!\!\!^{\overbrace {-4} ^{\text{指 数 部}}}.$$

2進法で正規化をすると、最上位ビットは常に1になるので、これを表さず常に1があるものとみなす省略が可能で、省略した表現をケチ表現などと言う。この省略を使うと、仮数部に割り当てたビット数がnであれば、有効桁数はn+1となる。

0を表す場合は符号部、仮数部、指数部のすべてのビットを0とすると都合が良いことからそのようにされることが多い。またその場合は+0.0で、浮動小数点では他に符号部が負をあらわし他が0の−0.0という0もあることがある。たとえば正の数を負の無限大で割ったり、負の数を正の無限大で割ったりすると−0.0になる。

浮動小数点数のフォーマット

浮動小数点数のフォーマットには、以下で説明するものや、イクセス64 など多数ある。

• IEEE方式（IEEE 754。最も広く採用されている標準規格）
• IBM方式（IBMのメインフレームおよびそれを模倣した各社の互換マシンで使われていた。指数部を基数16で表現するのが特徴）
• 指数部と仮数部を可変とする方式（これは研究用の面が強い。以下の該当する節で詳述）

IEEE方式（IEEE 754 形式）

詳細は「IEEE 754」を参照

「半精度」、「単精度」、「倍精度」、および「四倍精度」も参照

単精度浮動小数点数型式
sign:符号部、exponent:指数部、fraction:仮数部

倍精度浮動小数点数型式

IEEE 754 形式の

• 半精度浮動小数点数では、符号部 1 ビット ・ 指数部 5 ビット ・ 仮数部 10 ビット
• 単精度浮動小数点数では、符号部 1 ビット ・ 指数部 8 ビット ・ 仮数部 23 ビット
• 倍精度浮動小数点数では、符号部 1 ビット ・ 指数部 11 ビット ・ 仮数部 52 ビット
• 四倍精度浮動小数点数では、符号部 1 ビット ・ 指数部 15 ビット ・ 仮数部 112 ビット

で表現されている。各部は次のように定義されている。

• 符号部は、 0 を正、1 を負とする
• 仮数部は、整数部分が 1 であるような2進小数の小数部分（ケチ表現）を表す
• 指数部は、符号なし2進整数とし、半精度では 15、単精度では 127、倍精度では 1023、四倍精度では 16383 のゲタを履かせたゲタ履き表現で表す

つまり、IEEE 754 形式で表現する値は

半精度の場合： (−1)^符号部 × 2^{指数部 − 15} ×（1 + 仮数部）

単精度の場合： (−1)^符号部 × 2^{指数部 − 127} ×（1 + 仮数部）

倍精度の場合： (−1)^符号部 × 2^{指数部 − 1023} ×（1 + 仮数部）

四倍精度の場合： (−1)^符号部 × 2^{指数部 − 16383} ×（1 + 仮数部）

である。

ただし、IEEE 754 形式の指数部は複雑で、以下のような役割も持つ。

• 通常の浮動小数点数（正規化数）を表現するのは、指数部が単精度で 254 ～ 1（127 ～ −126）、倍精度で 2046 ～ 1（1023 ～ −1022）の範囲のときである
• 指数部が、単精度の場合 255（128）、倍精度の場合 2047（1024）のとき：

  仮数部が 0 以外の場合は、非数（NaN; Not a Number）を表す

  仮数部が 0 の場合は、符号部が 0 のときは正の無限大、符号部が 1 のときは負の無限大を表す

• 指数部が 0（単精度の場合 −127、倍精度の場合 −1023）のとき：

  非正規化数

• 指数部、仮数部ともに 0 のときは ±0 を表す

0 を 0 で割ろうとすると NaN になる。また、${\sqrt {-1}}$ も、求めるとNaNになる。

IEEE 754 で表現するまでの過程

2.5を例にとると、

• 仮数の符号は、+
• 仮数の絶対値は、2.5
• IEEE 754の基数は、2で固定（簡単のため、以下では省略）
• 指数は、0

であることから、まず次のように考える。

(−1)⁰ × 2.5 × 2⁰

仮数部は1未満でなければならないため、仮数の値2.5を（この例では右へ）シフトし正規化する。基数は2、コンピュータの内部表現は2進法であるため、シフト量は1ビットである。さらに、右シフトして1⁄2になったことを相殺するため、指数に1を加える（もし左シフトなら、指数から1を引く）。 値をシフトすることで表現範囲を広げ、丸め誤差を少なくなるようにしている。この操作を正規化という。正規化は基数の±1乗を繰り返し求めればよい。

このままでは (−1)⁰ × 1.25 × 2¹ となり、仮数の絶対値は1未満ではないが、仮数部は 仮数 − 1 と決められているため、次のようになる。

(−1)⁰ × (1 + 0.25) × 2¹

• 符号部は、0
• 仮数部は、0.25
• 指数は、1

指数部は、指数に127をバイアスすることが決まっているため

(−1)⁰ × (1 + 0.25) × 2^{(128 − 127)}

• 符号部は、0
• 仮数部は、0.25
• 指数部は、128

2進法では、

• 符号部（1ビット）：+ → 0
• 仮数部（23ビット）：0.25 → 01000000000000000000000
• 指数部（8ビット）：128 → 10000000

浮動小数点は、最上位ビットから符号部、指数部、仮数部の順に符号化するため

2進値：01000000001000000000000000000000、16進値：40200000