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利用者:位相空間を中和/sandbox/2

本項、部分リーマン多様体の接続と曲率では、ガウスの曲面論英語版を高次元化した場合の成果を述べる。具体的にはリーマン多様体の部分多様体Mに対し、

といったものを高次元化した成果を述べる。


以下、本節ではリーマン多様体の部分多様体[注 1]

における接続とその曲率について議論する。本節の内容は古典的なの成果を一般のリーマン多様体に拡張したものである。

Mの接続とMの接続の関係性

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gが定める上のレヴィ-チヴィタ接続とする。またリーマン計量gMに制限することで、がリーマン多様体になるので、gが定めるM上のレヴィ-チヴィタ接続を考える事ができる。

一方、Mの部分多様体なので、のレヴィ-チヴィタ接続Mへの制限も考える事ができる。


実はこの2つは以下の関係を満たす:

定理 ―  XYM上のベクトル場とするとき、Mの任意の点Pに対し、以下が成立する[1]

ここでは、の元の接ベクトル空間TPMへの射影

である。

法接続

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上ではの接続のMの接ベクトルバンドルTMへの射影を考えたが、同様にの接続のMの法ベクトルバンドルへの射影を考える事ができる。 Mの点Pに対し、

の元の法ベクトルバンドルへの射影とする。

定義 ―  XM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドルの切断とするとき、M法接続: normal connectionn)を以下のように定義する[2]

さらにYM上のベクトル場とするとき、

M法曲率: normal curvature[2])という。

第二基本形式とワインガルテン写像

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上述したように、M上のレヴィ-チヴィタ接続のレヴィ-チヴィタ接続TMへの射影であるので、両者の差 の法ベクトルバンドルへのの射影となる。 Mの点Pに対し、

をそれぞれの元の接ベクトル空間TPMへの射影、の元の法ベクトルバンドルへの射影とする。

定義 (第二基本形式) ―  

Mにおける第二基本形式: second fundamental form[3]、もしくは型テンソル[訳語疑問点]: shape tensor[4])という。

またに対し、

と定義し、これも第二基本形式という[5]

なお、「第二基本形式」という名称はガウスの曲面論から来ており、ガウスの曲面論ではリーマン計量の事を第一基本形式というのに対応した名称である[5]


であったので、以下が成立する:

定理 ―  

  • ガウスの公式[6]: Gauss formula[7]):

第二基本形式は以下を満たす[3]

定理 ―  

  • XYに対して-線形。

また、M上の曲線、上のMに接するベクトル場とするとき、以下が成立する:

定理 ―  

  • 曲線に沿ったガウスの公式: Gauss formula along a curve

上ではの接続とMの接続の差を第二基本形式として定義したが、同様にの接続とMの法接続の差を考える事ができる。

定義 ―  XM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドルの切断とするとき、

型写像[8]: shape operator[9])もしくはワインガルテン写像[8]: Weingarten map[8])という[10]

XYM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドルの切断とすると、Yηは直交するので、

である。よって次が成立する:

定理 ―  

ワインガルテンの公式[11]: Weingarten Equation[12]

よって特にXηに関して-線形である[13]

曲率の関係式

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前節と同様に記号を定義し、により定まるMの曲率をにより定まるの曲率をとする。

さらにXYZWM上のベクトル場とし、ηζMの法ベクトルバンドルの切断とする。このとき、次が成立する:

定理 ―  

  • ガウスの方程式[14]: Gauss equation[15]
  • コダッチの方程式: Codazzi's equation[16]
  • リッチの方程式: Ricci equation[2]

ここで

の切断とみたときの共変微分であり、

である。

ガウスの方程式はMの曲率が全空間の曲率と第二基本形式から決まる事を意味している。同様にリッチの方程式はMの法曲率がワインガルテン写像から決まる事を意味している。


またガウスの方程式からMの断面曲率

の断面曲率に関して以下の系が従う:

 ―  TPMの正規直交している2本のベクトルvwに関し、以下が成立する[17]

部分多様体の基本定理

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詳細は[18]を参照。

第三基本形式

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これまで同様をリーマン多様体、をその部分多様体とし、PMの点とし、XYTPMの元とし、ηを法ベクトル空間NPMの元とする。

定義 (第三基本形式) ― 

第三基本形式という[19]。 ここでmMの次元であり、TPMの正規直交基底である。

第三基本形式は二次形式 のトレースであるので、は基底の取り方に依存せずwell-definedである。

第三基本形式は以下のようにも表現可能である:

定理 ―  の次元をnとし、Mの法ベクトル空間NPMの基底とするとき、第三基本形式は以下を満たす[19]

が定曲率空間の場合、第三基本形式は以下を満たす:

定理 ―  が曲率cの定曲率空間であれば、以下が成立する[19]

ここでMのリッチテンソルであり、HMの平均曲率ベクトルである。

特にMの余次元が1であれば、前述したワインガルテン写像による第三基本形式の表記を適用することで、以下が成立する事がわかる:

定理 ―  が曲率cの定曲率空間で、が余次元1であれば、以下が成立する[19]

ここではリッチテンソルに対してを満たす線形写像であり、ηMの単位法ベクトルである。

主曲率、ガウス曲率、平均曲率

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本節では、埋め込み余次元1の場合、すなわちの場合、Mに対し主曲率、ガウス曲率、平均曲率という3つの曲率概念を定義する。

これらの概念を定義するためにまずその動機を述べる。今は余次元1なので、長さ1の法ベクトルηを(±1倍を除いて)一つだけ選ぶ事ができる。

Pにおける接ベクトルvに関し、曲線Pを通りvに接する(弧長パラメータsでパラメトライズされた)Mの測地線とすると、 Mの測地線であった事から、は必ずMに直交するので、Mの余次元が1な事から、ηと平行になる。 よっては測地線の曲率の大きさに符号をつけたものである。

主曲率とは(符号付きの)測地線の曲率の大きさの極値になっている値の事である。

主曲率は具体的には下記のように求める事ができる。なので、 曲線に沿ったガウスの公式第二基本形式の定義より、

よって主曲率、すなわちの極値は二次形式を回転行列により対角化した際の対角成分の事である。

ガウス曲率は主曲率の積、平均曲率は主曲率の平均値である。

厳密な定義は以下の通りである:

定義 (主曲率) ― が余次元1を点における(±1倍を除いて)唯一の長さ1の法ベクトルとし、対称二次形式

を回転行列で対角化した際の固有値をとし、を対応する長さ1の固有ベクトルとする。このとき、 各eiの事を点PにおけるM主方向: principal direction)といい[20]を主方向eiに関する主曲率: principal curvature[20]という。

定義 (ガウス曲率平均曲率英語版) ―  記号を上の定義と同様に取る。このとき、主曲率の第i基本対称式二項係数で割った

を点Pにおけるi平均曲率: i-th mean curvature)という[21]。特に、

を点PにおけるMガウス曲率: Gausian curvature[22]もしくはガウス・クロネッカー曲率: Gauss Kronecker curvature[20]といい

を点PにおけるM平均曲率: mean curvature)という[20]

なお、ガウス曲率の事を全曲率: total curvature)という事もあるが[23]、「全曲率」という言葉は測地線曲率の曲線全体に対する積分値を指す場合もあるので注意が必要である[23]

上記の定義についていくつか補足を述べる。第一に、単位法ベクトルηの向きを反転させると、主曲率の符号が反転してしまう。このためMが向き付け可能なときは、TM×ηの向きがの向きと一致するという規約を授けてηの向きを固定する事が多い。

第二に、は対称二次形式であるので、次が成立する:

定理 ―  (固有値が相異なれば)主方向は互いに直交する。

第三にワインガルテンの公式から

であるので、明らかに次が成立する:

定理 ―  主曲率および主方向はそれぞれワインガルテン写像の固有値・固有ベクトルに一致する。

よって固有多項式の一般論から、特に次が成立する:

定理 ― 以下の3つの値は等しい:

m-i次の項をで割った値

ここでに誘導する写像を である。

第四に、平均曲率に関しては、が余次元1でなくとも、を法ベクトル空間に値を取る二次形式とみなしたときのトレース(の1/n)として定義できる:

定義 ― をリーマン多様体とし、を(余次元1とは限らない)部分リーマン多様体とし、PMの点とする。このとき、 

PにおけるM平均曲率ベクトル: mean curvature vector)といい[24]HPにより定まる法ベクトルバンドルの切断H平均曲率ベクトル場: mean curvature vector field)という[25]。ここでの正規直交基底である。

平均曲率ベクトル場は極小曲面の特徴付けとして有用であり、閉多様体が極小曲面になる必要十分条件はM上の平均曲率ベクトル場が恒等的に0である事である事が知られている[25]

ガウス写像

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本節では、向き付可能なリーマン多様体Mをユークリッド空間に余次元1で埋め込んでいる場合、すなわちdimM=mの場合に対し、「ガウス写像」を定義する事で、ワインガルテン写像やガウス曲率に幾何学的な意味付けを与える。

これまで同様ηMの単位法ベクトル場とすると、各点PMに対し、ベクトルηPは長さ1のベクトルなので、ηPを原点中心の単位球Smの元とみなす事ができる。このようにみなす事で定義できる写像

ガウス写像: Gauss map[26]: Gauss spherical mapping[20])という。

MPにおける接ベクトル空間の元TPMPにおける接平面と自然に同一視すると、任意のvTPMに対し、

である事から、においてTPMTG(P)Smと平行な超平面であるので、自然にTPMTG(P)Smを同一視する。このとき次が成立する:

定理 ―  を向き付け可能かつ余次元1のリーマン多様体とし、GMが定めるガウス写像とする。

このとき、ガウス写像が接ベクトル空間に誘導する写像

は、

を満たす[20]。ここではワインガルテン写像である。

さらにガウス写像はガウス曲率と以下の関係を満たす:

定理 (ガウス写像によるガウス曲率の意味付け) ―  記号を上述の定理と同様に取る。 さらにMSmの体積要素をそれぞれとするとき、ガウス写像が誘導する写像

は、

を満たす。ここでKPは点PにおけるMのガウス曲率である[26]

Theorema Egregium

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断面曲率と第二基本形式の関係主曲率の定義から、特に以下の系が成立する:

 (断面曲率と主曲率の関係) ―  埋め込みが余次元1の埋め込みで、が点における主方向でを対応する主曲率とする。このときijを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、以下が成立する[27]

よってとくにが曲率c定曲率空間英語版、すなわち上の任意の点Pにおける任意の方向の断面曲率がcである空間の場合には、

が成立する。

実は上式の右辺はMに内在的な量である:

定理 (Theorema Egregiumの一般化) ― を曲率cの定曲率空間とし、をその余次元1の部分多様体とし、さらにPMの点とする。さらに線形写像

により定義する。

このとき、ρの固有値の集合は

に一致する[28]。ここでmMの次元であり、は点Pにおける主曲率である。

またに対応する主方向をとすると、に対応する固有ベクトルはである。

であったので、上記の定理は、有名なTheorema Egregiumの一般化になっている:

定理 (Theorema Egregium) ― の二次元部分多様体に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する[27]

Theorema Egregiumの一般化から以下の系が従う:

 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき、におけるMの第r平均曲率はrが偶数ならMに内在的な量である[注 2]

よってとくににおけるMのガウス曲率KMの次元mが偶数ならMに内在的な量である[28][注 2]

一方、奇数次元のガウス曲率はMに内在的な量ではない。実際ガウス曲率の定義Mの単位法線ηというMに外在的な量に依存しており、ηの向きを変えればの符号は全て反転してしまい、次元mが奇数である事からの符号も反転してしまう。

しかし次元mが奇数の場合であっても、符号を除いてガウス曲率は内在的な量となる事を前述のTheorema Egregiumの一般化から示すことができる:

 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。Mの次元mが奇数であっても、におけるMのガウス曲率Kは符号を除いて内在的な量である[28][注 3][注 2]

以上の事から、mが偶数の場合にはにおけるMのガウス曲率をリーマン曲率で具体的に書きあらわす事ができる。次節ではがユークリッド空間である場合に対し、この具体的な表記を求める。

オイラー形式

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前節ではが偶数次元でしかも余次元が1のとき、ガウス曲率がMの内在的な量である事を示した。

本節の目的はの場合に、ガウス曲率をMに内在的な量で具体的に書きあらわす事にある。そのために導入するのがオイラー形式である。オイラー形式は偶数次元のリーマン多様体M上で曲率テンソルを用いて定義される。そしてMが余次元1に埋め込まれているときは、オイラー形式はガウス曲率の定数倍に一致する。

本節の内容は後でガウス・ボンネの定理を記述するときに重要となる。「オイラー形式」という名称も、ガウス・ボンネの定理からこの値がオイラー標数と関係づけられる事に由来する。


パッフィアン

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オイラー形式を定義するため、「パッフィアン」を定義する。これは後述するように行列式の平方根に相当する。

定理・定義 (パッフィアン) ―  mを正の偶数とし、Vm次元の向きづけられた実ベクトル空間とし、Vの正規直行基底でVの向きと同じ向きのものとし、歪対称二次形式

に対し、

となる実数が一意に存在する[注 4]。 しかもVと同じ向きの正規直交基底の取り方によらない。

αパッフィアン: Pfaffian)と呼ぶ。

上記の定理において、の存在一意性は1次元ベクトル空間な事から明らかに従う。Vと同じ向きの正規直交基底の取り方によらないことも、の定義がαの成分表示によらず、しかもがそのような基底の取り方によらない事から明らかに従う。


歪対称行列に対し、紛れがなければのパッフィアンの事をとも表記する。 定義から明らかに次が成立する。

定理 ―  任意の正則行列Bに対し、

が成立する。よって特に任意の直交行列Bに対し、

が成立する[29]

パッフィアンは具体的には以下のように書ける。

定理 (パッフィアンの具体的表記) ― m=2k次の歪対称行列に対し、以下が成立する[29]

.

ここで対称群であり、は置換σ符号である。

パッフィアンは行列式の平方根である:

定理 ― m=2k次の歪対称行列に対し、以下が成立する[29]

.

なお本節で我々は偶数次の歪対称行列に対して行列式の平方根がパッフィアンと一致する事を見たが、奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に0になる事が知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も0になる。


オイラー形式

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次に我々はパッフィアンを使ってオイラー形式を定義する。

定義 (オイラー形式) ―  m=2kを偶数とし、Mm次元の向きづけられたリーマン多様体とし、を開集合におけるTMの正規直交基底でMと同じ向きを持つものとし、に関するMの曲率形式とする。このとき、

オイラー形式: Euler form)もしくはガウス・ボンネ被積分関数[訳語疑問点]: Gauss-Bonnet integrand)という[30][31][32][33]

上記の定義に関して3つ補足する。第一に、オイラー形式を定義する際、パッフィアンをで割るのは、このようにすると後述するガウス・ボンネの定理で不要な定数が消えて定理の記述が簡単になるからである。

第二に、「」という記号の意味についてである。「」はパッフィアンPf(A)の具体的表記において、行列AΩに置き換え、さらに積をウェッジ積に置き換えることで定義される。すなわち、

なお、添字の上下がPf(A)の具体的表記とは異なっているが、正規直交基底を考えているのでこれは問題にならない。

第三に、Ωijは2-形式であるので、上述のウェッジ積はΩijの入れ替えに関して可換である。よって前節で通常の実数係数の行列に対して成立した定理の多くがに対しても成立する。

特に、は正規直交基底の向きを保つ取り方に対して不変であり、したがってオイラー形式はMと同じ向きの正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。

したがって、オイラー形式はMの全域で定義可能である。


(正規直交とは限らない)基底とその双対基底をを使って曲率テンソルを

と成分表示すると、オイラー形式を下記のように成分表示できる:

定理 (オイラー形式の成分表示) ― (正規直交とは限らない)基底に対し、以下が成立する[34]

ここでdVMの体積要素であり、上式はアインシュタインの縮約記法を用いている。

なお、上式はおよびの置換になっている項以外は0になる。

オイラー形式とガウス曲率の関係

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本節では、偶数次元リーマン多様体Mが余次元1でユークリッド空間に埋め込まれているときは、ガウス曲率とオイラー形式は定数倍を除いて一致する事を見る:

定理 (ガウス曲率のオイラー形式による表記) ― mを偶数とし、m次元リーマン多様体Mの余次元1の埋め込みとする。このとき以下が成立する[35]

ここでMのオイラー形式であり、KMのガウス曲率であり、二重階乗であり、 dVMの体積要素である。

なお、なぜパッフィアンという「行列式の平方根」がここで登場するか、という問いに対する答えるには、チャーン・ヴェイユ理論を必要とするため、本項では触れない。

ガウス・ボンネの定理

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本節ではガウス・ボンネの定理を紹介する。この定理は、偶数次元のリーマン多様体において、オイラー標数をオイラー形式の全空間における積分で記述できるという趣旨の定理である。

元々はMが2次元の場合に対して示されたものであり、一般の偶数次元に対する定理は区別のためチャーン・ガウス・ボンネの定理とも呼ばれる。

定理 (ガウス・ボンネの定理) ―  Mを偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトなリーマン多様体とする。このとき、

が成立する。ここでMのオイラー形式であり、Mのオイラー標数である。


証明のアイデア

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を余次元1で向き付け可能なリーマン多様体とする。すでに述べたようにMSmの体積要素をそれぞれとすると、両者の間には

という関係がある。ここでKMのガウス曲率である。

Mコンパクトで縁がなければ、ド・ラームコホモロジーの一般論から、ガウス写像写像度

に等しい[36]。ここでは球面Smm次元体積である。

この事実を利用すると、偶数次元のMに対し以下の定理が結論付けられる:

定理 ― コンパクトで縁がない向き付け可能なCm次元部分リーマン多様体とする。このとき、mが偶数であれば、

が成立する[36]。ここでKはガウス曲率であり、はガウス写像の写像度であり、は単位球面Smm次元体積であり、Mのオイラー標数である。

上記の定理にガウス曲率がオイラー形式で表記できたという事実を適用する事で、ホップは以下を示した:

定理 (内かつ余次元1の場合のガウス・ボンネの定理) ―  記号を上述の定理と同様に取る。このとき、

が成立する。ここでMのオイラー形式である[41]

ここで我々はm=2kとすると、

である[42]事を用いた(超球の体積の項目も参照)。

上記の定理は「Mに余次元1で埋め込まれている」という強い条件の元でのみ成立しているので、ガウス・ボンネの定理を示すにはこの条件を無くす必要がある。そのために使うのが下記の定理である:

定理 (ナッシュの埋め込み定理) ―  Mをコンパクトなm次元リーマン多様体とする。このとき、あるnmとあるC級の埋め込み

が存在し、M上のリーマン計量gの引き戻しと一致する[43]

よってMの部分多様体だと仮定しても一般性を失わない。しかしMにおいて余次元1とは限らないので、このままでは前述のホップによる定理を適用できない。

そこでMεだけ「太らせたもの」(すなわち管状近傍英語版)をNとすると、εが小さければNM×Dn-mと位相同型である。ここでmMの次元である。よって

が成立する。

で余次元1なので、前述のホップによる結果を適用でき、

が言える[注 8]。ここで∂Nの曲率形式である。


ヘルマン・ワイルは管状近傍の体積を具体的に(非常に複雑な)計算する事で、2倍である事を示した[注 9]。以上の議論からガウス・ボンネの定理が証明された。

擬リーマン多様体の場合

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本稿ではリーマン多様体に対するガウス・ボンネの定理を記述したが、擬リーマン多様体でも同様の定理が成立する[44]

定理 (擬リーマン多様体のガウス・ボンネの定理) ―  Mを偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトな符号数の擬リーマン多様体とする。このとき、pが奇数であればχ(M)=0である。Mのオイラー標数である。

一方pが偶数であれば、

が成立する。ここでMのオイラー形式である。

脚注

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出典

[編集]
  1. ^ #Lee p.135.
  2. ^ a b c #Carmo p.135.
  3. ^ a b #Lee p.134.
  4. ^ #Dajczer p.3.
  5. ^ a b #Tu p.68.
  6. ^ #安藤 pp.16-17.
  7. ^ #Lee p.135.
  8. ^ a b c #安藤 p.17.
  9. ^ #Tu p.66.
  10. ^ #Carmo pp.128,135.
  11. ^ 幾何学特論 A1 講義ノート I”. 東京工業大学. p. 40. 2023年1月13日閲覧。
  12. ^ #Lee p.136.
  13. ^ #Carmo p.128.
  14. ^ #安藤 p.18.
  15. ^ #Lee p.136
  16. ^ #Carmo p137.
  17. ^ #Carmo p.130.
  18. ^ #Dajczer p.15
  19. ^ a b c d #Dajczer pp.93-94.
  20. ^ a b c d e f #Carmo p.129
  21. ^ #Dajczer p.18.
  22. ^ #Lee p.142,
  23. ^ a b Total Curvature”. Wolfram Mathworld. 2023年4月25日閲覧。
  24. ^ Claudio Gorodski. “Chapter 7. Submanifold geomety”. An introduction to Riemannian geometry. p. 137. 2023年2月21日閲覧。
  25. ^ a b H. Blaine Lawson (1980/2/1). Lectures on minimal submanifolds. Publish or Perish Inc. pp. 5-12. ISBN 978-0914098188 
  26. ^ a b #Lee p.151.
  27. ^ a b #Carmo p.131.
  28. ^ a b c #Dajczer p.47.
  29. ^ a b c #森田 pp.242-243.
  30. ^ #Grey p.76.
  31. ^ #森田 p.243.
  32. ^ #Tu p.233.
  33. ^ #Wu p.4.
  34. ^ #Gilkey pp.126-127.
  35. ^ #Grey p.79.
  36. ^ a b #Zhu pp.1-2.
  37. ^ この証明は#Wu pp.3-4.を参考にした。
  38. ^ WOLFGANG SCHMALTZ. “THE JORDAN-BROUWER SEPARATION THEOREM”. シカゴ大学. p. 13. 2023年3月16日閲覧。
  39. ^ a b MANDY LA. “THE POINCARÉ-HOPF THEOREM”. シカゴ大学. p. 6. 2023年3月16日閲覧。
  40. ^ #Wu p.4.
  41. ^ #Spivak5 p.264.
  42. ^ #Grey p.78.
  43. ^ Raymond O. Wells, Jr. (2017/8/1). Differential and Complex Geometry: Origins, Abstractions and Embeddings. Springer. pp. 189,209.. ISBN 978-3-319-58184-2 
  44. ^ #Gilkey p.127.

注釈

[編集]
  1. ^ 本節では話を簡単にするためMの部分多様体の場合を議論するが、本節の議論は全て局所的なものなので、本設の議論は全てMにはめ込まれている場合に自然に拡張できる。
  2. ^ a b c 本定理でいる「内在的」の意味に注意する必要がある。実際、Mの内在的な量から直接計算されるからを求めるには、cを知らねばならず、積cに依存して決まる。よってから求まる偶数次平均曲率やガウス曲率の平方等もcに依存して決まる量である。 本定理で言う「内在的」はcをfixしたとき、任意に埋め込み写像を取ると、fから定まる主曲率の積の集合(やそこから定まる偶数次平均曲率、、ガウス曲率の平方等)は、fへの埋め込み写像である限りfに依存しない、という意味である。
  3. ^ すなわちガウス曲率の自乗K2Mに内在的な量である。
  4. ^ αは偶数次(2次)なので、0になるとはかぎらない。例えばなら
  5. ^ 文献によってこの写像度を指数の定義とするものと、ヘッシアンの符号数を指数の定義としてこれが写像度と一致するのを定理とするものがあるが、ここでは前者に従った。
  6. ^ そのようなXを作るには、ガウス写像隆起函数を用いて拡張してを作り、さらに一般の位置定理を用いてを摂動する事で非退化な零点のみを持つ写像を作れば良い。
  7. ^ マイヤー・ヴィートリス完全系列
    から証明できるが、NN'が三角形分割可能な事を認めれば、三角形分割とオイラー標数の関係から容易に証明できる。
  8. ^ 最後の等号はキネットの定理英語版から示せるが、Mが三角形分割可能な事を仮定すれば直接示す事もできる。
  9. ^ #Grayはワイルによる管状近傍の理論を説明したもので、本書の5章でホップの結果からガウス・ボンネの定理を示している。

関連項目

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文献

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参考文献

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その他

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