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利用者:加藤勝憲/不均一場における重心

物理学では、物体の重心は、重力相互作用の要約説明に使用できる点です。均一な重力場では、質量の中心が重心となる。これは、地球の表面近くの小さな物体の非常に適切な近似であるため、工学や医学などのほとんどの応用分野では「重心」と「質量中心」を区別する必要はない。

不均一な場では、位置エネルギー、力、トルクなどの重力効果は、質量中心だけでは計算できなくなる。特に、不均一な重力場は、重心を通る軸の周りであっても、物体にトルクを発生させる可能性がある。重心は、この効果を説明しようとする。正式には、重心は、結果として生じる重力が身体にかかる点です。そのような点は存在しない可能性があり、存在するとしても、それは一意ではありません。フィールドを平行または球対称として近似することにより、一意の重心をさらに定義できます。


非一様な場では、位置エネルギー、力、トルクなどの重力効果は、もはや質量中心だけでは計算できない。特に、非一様重力場では、質量中心を通る軸に対しても、物体にトルクが発生することがある。この効果を説明しようとするのが重心である。重心とは、正式には「重力が作用する点」である。このような点は存在しないかもしれないし、もし存在したとしても一意ではない。さらに、場を平行または球面対称のどちらかに近似することで、固有の重心を定義することができる。


重心とは異なる重心の概念は、不均一な場が重要な天体力学でさえ、アプリケーションではめったに使用されません。重心は外部フィールドに依存するため、その動きは重心の動きよりも決定が困難です。重力トルクを扱う一般的な方法は場の理論です。

質量中心[編集]

物体の重心を定義する 1 つの方法は、存在する場合、次の要件を満たす物体内の一意の点として定義することです。配置されます。この重心は、力が均一な場合にのみ存在し、その場合、重心と一致します。 [1]このアプローチは、アルキメデスにさかのぼります。 [2]

フィールドの重心[編集]

物体が不均一な外部重力場の影響を受ける場合、重力が適用される点として機能するその場に対する重心を定義できる場合があります。 The Feynman Lectures on Physicsなどの教科書は、重心をトルクのない点として特徴付けています。つまり、重心は合力の作用点です。 [3]この定式化では、重心rcgは次の式を満たす点として定義されます。

ここで、 Fとτは、重力によって体にかかる力とトルクの合計である[4]。

rcgに関する複雑な問題の 1 つは、その定義方程式が一般に解けないことです。 Fとτが直交しない場合、解はありません。重力には合力がなく、任意の点で単一の力に置き換えることはできません。 [5] Fとτが直交することが保証されるいくつかの重要な特殊なケースがあります。たとえば、すべての力が単一の平面にある場合や、単一の点に整列している場合です。 [6]

方程式が解ける場合、別の問題がある。その解は一意ではない。代わりに、無限に多くのソリューションがあります。すべてのソリューションのセットは、力の作用線として知られています。この線は重みFに平行です。一般に、特定の点を一意の重心として選択する方法はありません。 [7]重力場が平行または球対称である場合など、いくつかの特別なケースでは、単一の点が選択される場合があります。これらのケースを以下に考察します。

パラレルフィールド[編集]

重力場の不均一性の一部は、変数であるが平行な場g(r) = g(r)nによってモデル化される場合があります。ここで、 nは一定の単位ベクトルです。不均一な重力場は正確に平行になることはできませんが、物体が十分に小さい場合、この近似は有効です。 [8]重心は、物体を構成する粒子の位置の特定の加重平均として定義することができます。重心は各粒子の質量を平均するのに対し、重心は各粒子の重量を平均します。

ここで、 wiはi番目の粒子の (スカラー) 重みで、 Wはすべての粒子の (スカラー) 合計重量です。 [9]この方程式には常に一意の解があり、平行場近似では、トルク要件と互換性があります。 [10]

一般的な例は、地球のフィールドにある月に関するものです。加重平均の定義を使用すると、月の重心は重心よりも低く (地球に近く) なります。これは、月の下部が地球の重力の影響を強く受けているためです。 [11]これにより、月は常に同じ面を見せるようになり、潮汐ロックとして知られる現象が起こります。

球対称フィールド[編集]

外部重力場が球対称である場合、それは対称中心rにおける質量点Mの場と等価です。この場合、重心は、ニュートンの法則によって物体にかかる総力が与えられる点として定義できます。

ここで、 Gは重力定数、 mは物体の質量です。力の合計がゼロでない限り、この方程式には一意の解があり、トルク要件を満たします。 [12]この定義の便利な特徴は、物体自体が球対称である場合、 rcgはその重心にあるということです。一般に、 rと体の間の距離が長くなると、重心は重心に近づきます。 [13]

この定義を表示する別の方法は、物体の重力場を考慮することです。その場合、 rcgは、 rに位置する観測者の見かけの重力源です。このため、 rcgは、点rに対するMの重心と呼ばれることがあります。 [7]

使用法[編集]

上で定義した重心は、体の固定点ではありません。むしろ、体の位置と向きが変わると変化します。この特性により、重心が扱いにくくなるため、このコンセプトはほとんど実用的ではありません。 [14]

重力トルクを考慮する必要がある場合は、重力を質量の中心に作用する力と向きに依存する対として表す方が簡単です。 [15]後者は、重力ポテンシャルを場として扱うことによって最もよくアプローチされます。 [7]

脚注[編集]

  1. ^ Millikan 1902, pp. 34–35.
  2. ^ Shirley & Fairbridge 1997, p. 92.
  3. ^ Feynman, Leighton & Sands 1963, p. 19-3; Tipler & Mosca 2004, pp. 371–372; Pollard & Fletcher 2005; Rosen & Gothard 2009, pp. 75–76; Pytel & Kiusalaas 2010, pp. 442–443.
  4. ^ Tipler & Mosca 2004, p. 371.
  5. ^ Symon 1964, pp. 233, 260
  6. ^ Symon 1964, p. 233
  7. ^ a b c Symon 1964, p. 260
  8. ^ Beatty 2006, pp. 45.
  9. ^ Beatty 2006, p. 48; Jong & Rogers 1995, pp. 213.
  10. ^ Beatty 2006, pp. 47–48.
  11. ^ Asimov 1988, p. 77; Frautschi et al. 1986, p. 269.
  12. ^ Symon 1964, pp. 259–260; Goodman & Warner 2001, p. 117; Hamill 2009, pp. 494–496.
  13. ^ Symon 1964, pp. 260, 263–264
  14. ^ Symon 1964, p. 260; Goodman & Warner 2001, p. 118.
  15. ^ Goodman & Warner 2001, p. 118.

参考文献[編集]

  • Asimov, Isaac (1988) [1966], Understanding Physics, Barnes & Noble Books, ISBN 0-88029-251-2 
  • Beatty, Millard F. (2006), Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion, Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, 33, Springer, ISBN 0-387-23704-6 
  • Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963), The Feynman Lectures on Physics, 1 (Sixth printing, February 1977 ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-02010-6 
  • Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (1986), The Mechanical Universe: Mechanics and heat, advanced edition, Cambridge University Press, ISBN 0-521-30432-6 
  • Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002), Classical Mechanics (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3 
  • Goodman, Lawrence E.; Warner, William H. (2001) [1964], Statics, Dover, ISBN 0-486-42005-1 
  • Hamill, Patrick (2009), Intermediate Dynamics, Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1 
  • Jong, I. G.; Rogers, B. G. (1995), Engineering Mechanics: Statics, Saunders College Publishing, ISBN 0-03-026309-3 
  • Millikan, Robert Andrews (1902), Mechanics, molecular physics and heat: a twelve weeks' college course, Chicago: Scott, Foresman and Company, https://books.google.com/books?id=X0tBAAAAYAAJ 2011年5月25日閲覧。 
  • Pollard, David D.; Fletcher, Raymond C. (2005), Fundamentals of structural geology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83927-3, https://archive.org/details/trent_0116405531629 
  • Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010), Engineering Mechanics: Statics, 1 (3rd ed.), Cengage Learning, ISBN 978-0-495-29559-4 
  • Rosen, Joe; Gothard, Lisa Quinn (2009), Encyclopedia of Physical Science, Infobase Publishing, ISBN 978-0-8160-7011-4 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principles of physics: a calculus-based text, 1 (4th ed.), Thomson Learning, Bibcode: 2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-X 
  • Shirley, James H.; Fairbridge, Rhodes Whitmore (1997), Encyclopedia of planetary sciences, Springer, ISBN 0-412-06951-2 
  • De Silva, Clarence W. (2002), Vibration and shock handbook, CRC Press, ISBN 978-0-8493-1580-0 
  • Symon, Keith R (1964) (English), Mechanics., Addison-Wesley Pub. Co., OCLC 1080783137 
  • Tipler, Paul A.; Mosca, Gene (2004), Physics for Scientists and Engineers, 1A (5th ed.), W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0900-7 

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