利用者:加藤勝憲/質量中心(重心との混同を解消するための翻訳）

質量中心(すなわち慣性中心) は幾何学的な点であり、その位置は物質内の質量分布によって決定され、その変位が物質または力学系全体の運動を特徴付ける点である 。与えられた点の半径ベクトルは次の式で与えられる。

${\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,$

ここで、$\rho ({\vec {r}})$は座標依存の密度であり、積分は物質のボリュームに対して実行されます。質量中心は物体の内側でも外側でもかまわない。

質量中心の概念と、質量の中心に関連付けられた座標系の使用は、力学の多くのアプリケーションで便利であり、計算を簡素化します。外力が機械システムに作用しない場合、その重心は大きさと方向に一定の速度で移動します。

ジョヴァンニ・チェバは重心の考察を幾何学的問題の解決に適用し、その結果、メネラウスの定理とチェバの定理が定式化された。

均一な重力場内の質点と物体のシステムの場合、質量の中心は重心と一致しますが、一般的な場合、これらは異なる概念です。

古典力学における重心

意味

古典力学における質点系の質量中心 (慣性中心) の位置は、次のように決定される :

${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},$

ここで、${\vec {r}}_{c}$は重心の半径ベクトル、 ${\vec {r}}_{i}$ - 半径ベクトルiシステムの番目の点、 $m_{i}$ -質量i番目のポイント。

連続質量分布の場合:

${\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,$

$M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,$

どこ$M$システムの総質量、 $V$ - 音量、 $\rho$ - 密度。このように、質量の中心は、物体または粒子系全体の質量の分布を特徴付けます。

システムが質点ではなく、質量のある拡張ボディで構成されている場合$M_{i}$ 、そのようなシステムの重心の半径ベクトル$R_{c}$物体の質量中心の半径ベクトルに関連付けられている$R_{ci}$比率 :

${\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.$

確かに、質量のある質点のいくつかのシステムを考えてみましょう$M_{1},M_{2},...M_{N}.$半径ベクトル${\vec {R}}_{c_{n}}$$n$システム：

${\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.$

${\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.$

連続密度分布を持つ拡張ボディに渡す場合、式には合計ではなく積分が含まれ、同じ結果が得られます。

つまり、拡張ボディの場合、式は有効であり、その構造は質点に使用されるものと一致します。

例

平らで均質な図形の重心

• セグメントには中間があります。
• ポリゴン :
  • 平行四辺形には、対角線が交差する点があります。
  • 三角形には中央交点 ( centroid ) があります。
• 正多角形には回転対称の中心があります。
• 半円には、垂直半径を分割する点があります。 ${\frac {4}{3\pi }}$円の中心から。

均質な平面図形の重心の座標は、次の式で計算できます ( Papp-Guldin の定理の結果)。

$x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}$と$y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}$ 、 どこ$V_{x},V_{y}$ - 対応する軸を中心に図を回転させることによって得られる体の体積、 $S$は図の面積です。

同次図形の周囲の重心

• 三角形の辺の重心は、追加の三角形(この三角形の辺の中点に位置する頂点を持つ三角形)の内接円の中心にあります。この点は、スピーカーの中心と呼ばれます。これは、三角形の辺が同じ断面の細いワイヤーでできている場合、結果として得られるシステムの重心 (重心) が追加の三角形の内接円の中心またはシュピーカーと一致することを意味します。中心。

使用法

重心の概念は、物理学、特に力学で広く使用されています。

剛体の運動は、質量中心の運動と、質量中心を中心とした物体の回転運動の重ね合わせと見なすことができます。この場合、重心は同じ質量の物体と同じように移動しますが、無限に小さいサイズ (質点) が移動します。後者は、特に、すべてのニュートンの法則がこの運動を記述するために適用できることを意味します。多くの場合、体の寸法と形状を完全に無視して、重心の動きだけを考慮することができます。

重心に関連付けられた座標系で閉じたシステムの運動を考慮すると便利なことがよくあります。このような基準システムは、重心システム(C システム)、または慣性中心システムと呼ばれます。その中で、閉じたシステムの総運動量は常にゼロに等しいままであり、その運動方程式を単純化することができます.

相対論的力学における重心

高速 (光速程度) (たとえば、素粒子物理学) の場合、 SRT装置を使用してシステムのダイナミクスを記述します。相対論力学 (SRT) では、重心と重心系の概念も最も重要な概念ですが、概念の定義は次のように変わります。

${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},$

どこ${\vec {r}}_{c}$は重心の半径ベクトル、 ${\vec {r}}_{i}$ - 半径ベクトルiシステムの番目の粒子、 $E_{i}$ - 総エネルギーi番目の粒子。

この定義は、相互作用しない粒子のシステムにのみ適用されます。相互作用する粒子の場合、定義では、粒子によって作成された場の運動量とエネルギーを明示的に考慮する必要があります 。

エラーを回避するために、SRT では、質量の中心は質量の分布ではなく、エネルギーの分布によって特徴付けられることを理解する必要があります。 Landau と Lifshitz による理論物理学の過程では、「慣性中心」という用語が好まれます。素粒子に関する西洋の文献では、「重心」という用語が使用されます(英語: center-of-mass ): 両方の用語は同等です。

相対論的力学における重心の速度は、次の式で求めることができます。

${\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.$

関連概念

質量中心vs.重心

「重心」という用語は、重心の概念の意味の 1 つと同義です (古代ギリシア語: βαρύς - 重い + κέντρον - 中心) ですが、後者は主に天体物理学と天体力学の問題で使用されます。重心とは、いくつかの天体に共通の質量の中心を意味し、その周りをこれらの天体が移動します。例として、惑星と星の共同運動があります (図 1 を参照)。ご飯。 ) またはバイナリ スターコンポーネント。この場合の質量の中心 (重心) は、長さのセグメント上にあります。 $l$ 、ボディを質量で接続する$m_{1}$と$m_{2}$ 、 距離で$s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$体から$m_{1}$ .

重心という言葉の別の意味は、物理学ではなく幾何学を指します。この値では、重心座標の式は、密度がないという点で質量中心の式とは異なります (あたかも常に$\rho =$定数）。

質量中心と重心

体の質量中心重心と重心を混同してはいけません。

機械システムの重心は、(システムに作用する)重力の総モーメントがゼロになる点です。たとえば、柔軟性のないロッドで接続され、不均一な重力場(惑星など) に配置された 2 つの同一の質量で構成されるシステムでは、質量の中心はロッドの中央にあり、システムは、惑星に近いロッドの端に移動します（重量があるため）P = m·gは重力場パラメーターに依存しますg )、そして、一般的に言えば、ロッドの外側にさえあります。

均一な重力場では、重心は常に重心と一致します。非宇宙の問題では、重力場は通常、物体の体積内で一定と見なすことができるため、実際にはこれら 2 つの中心はほぼ一致する。

同じ理由で、重心と重心の概念は、これらの用語が幾何学、静力学、および同様の分野で使用される場合に一致します。物理学と比較してその適用を比喩的と呼ぶことができ、それらの等価性の状況が暗黙のうちに示されます。仮定されます（実際の重力場は存在しないため、その不均一性を考慮しても意味がありません）。これらの用法では、この 2 つの用語は伝統的に同義語であり、古いという理由だけで後者が好まれることも珍しくありません。

参照

• 古典力学
• 理論力学
• システムの重心の運動に関する定理
• タンブラー
• 重心
• 三角形の重心

参考文献

• Бобылёв Д. К. (1890–1907). "Центр, в физике". ブロックハウス・エフロン百科事典: 全86巻（本編82巻と追加4巻） (ロシア語). サンクトペテルブルク.
• Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..

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