利用者:善積錬太郎/sandbox/e進法

e 進法とは，あるデータ量を扱うに伴って要求される記憶素子の数が最小となるような，つまり最も効率性の高い記数法である．但し， $e$ はネイピア数である．

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を $x$ ( $x>0,x\in \mathbb {R}$ )進法で表すとする．
この数一桁を表すのに $x$ 個の記憶素子が要求されるので， $n$ ( $n$ は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 $N(x)$ は，

$N(x)=nx$

と表せる．
また， $x$ 進法で表された $n$ 桁の数の情報量 $I$ ( $I$ は定数， $I>x$ )について，

$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$

従って， $I$ の情報量を $x$ 進法の $n$ 桁で表すのに必要な記憶素子の数 $N(x)$ は，

$N(x)=nx=x\cdot {\frac {\ln I}{\ln x}}$

ここで，

${\begin{cases}\lim _{x\rightarrow \infty }N(x)=\infty \\\lim _{x\rightarrow -\infty }N(x)=\infty \end{cases}}$

から， $N(x)$ は下に凸の凸関数であるので， $N(x)$ を最小にする $x$ の値を求めるには， $N(x)$ の微分係数が0となるような $x$ の値を求めれば良い．

${\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {x^{\prime }\ln x-x\left(\ln x\right)^{\prime }}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-x\cdot {\frac {1}{x}}}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$