翻訳に手をつけてはみたものの、うまくいかなかったものの置き場所。元のページものせておくので、暇な方は続きを勝手に編集してください。オイラー作用素なんかはほぼ完成ですが、やってみたら難しく、間違っていない確証が持てない、という理由で未投稿。持っていって自分の手柄にしてもOKです。荒らし以外、自由な編集を許可します。
レトケシュ恒等式 [ 編集 ] この記事には
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数学 において、Zoltán Retkesにちなんで名付けられたレトケシュ恒等式 (れとけしゅこうとうしき、英 : Retkes Identities Retkes inequality 、
f
(
u
)
=
u
α
{\displaystyle f(u)=u^{\alpha }}
0
≤
u
<
∞
{\displaystyle 0\leq u<\infty }
0
≤
α
{\displaystyle 0\leq \alpha }
F
(
n
−
1
)
(
s
)
=
s
α
+
n
−
1
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
⋯
(
α
+
n
−
1
)
.
{\displaystyle F^{(n-1)}(s)={\frac {s^{\alpha +n-1}}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +n-1)}}.}
表記は:en:Hermite–Hadamard inequality で説明される。
特殊な場合 [ 編集 ]
f
{\displaystyle f}
凸関数 に制限され
α
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
凹関数 に制限され
0
<
α
<
1
{\displaystyle 0<\alpha <1}
線形 で
α
=
0
,
1
{\displaystyle \alpha =0,1}
不等式 と恒等式 をもち、
1
<
α
1
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
⋯
(
α
+
n
−
1
)
∑
i
=
1
n
x
i
α
+
n
−
1
Π
k
(
x
1
,
…
,
x
n
)
<
1
n
!
∑
i
=
1
n
x
i
α
{\displaystyle 1<\alpha \quad \quad \quad \quad {\frac {1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{\alpha +n-1}}{\Pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}<{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}
α
=
1
∑
i
=
1
n
x
i
n
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle \alpha =1\quad \quad \quad \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
0
<
α
<
1
1
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
⋯
(
α
+
n
−
1
)
∑
i
=
1
n
x
i
α
+
n
−
1
Π
k
(
x
1
,
…
,
x
n
)
>
1
n
!
∑
i
=
1
n
x
i
α
{\displaystyle 0<\alpha <1\quad \quad {\frac {1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{\alpha +n-1}}{\Pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}>{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}
α
=
0
∑
i
=
1
n
x
i
n
−
1
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
1
{\displaystyle \alpha =0\quad \quad \quad \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n-1}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=1}
となる。
得られる結果 [ 編集 ] One of the consequences of the case
α
=
1
{\displaystyle \quad \alpha =1}
Retkes convergence criterion because of the right side of the equality is precisely the n th partial sum of
∑
i
=
1
∞
x
i
.
{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}.}
Assume henceforth that
x
k
≠
0
k
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{k}\neq 0\quad k=1,\ldots ,n.}
1
x
k
{\displaystyle \quad {\frac {1}{x_{k}}}}
x
k
{\displaystyle \quad x_{k}}
Retkes identities :
∑
i
=
1
n
x
i
n
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
∑
i
=
1
n
x
i
n
−
1
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
1
{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n-1}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=1}
∑
i
=
1
n
1
x
i
=
(
−
1
)
n
−
1
∏
i
=
1
n
x
i
∑
i
=
1
n
1
x
i
2
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=(-1)^{n-1}\prod _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{{x_{i}}^{2}\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
∏
i
=
1
n
1
x
i
=
(
−
1
)
n
−
1
∑
i
=
1
n
1
x
i
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \quad \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=(-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
[[Category:Mathematical identities]]
[[Category:Mathematical series]]
[[Category:Inequalities]]
オイラー作用素 [ 編集 ] 数学においてオイラー作用素 (おいらーさようそ、英 : theta operator 微分作用素 の一種であり、[1] [2]
θ
=
z
d
d
z
{\displaystyle \theta =z{d \over dz}}
と定義される。これはときにhomogeneity operator と呼ばれる。これはオイラー作用素の固有関数 がz の単項式 で、
θ
(
z
k
)
=
k
z
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }
と表されることによる。
n 変数のとき、オイラー作用素は以下で与えられる
θ
=
∑
k
=
1
n
x
k
∂
∂
x
k
.
{\displaystyle \theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}
1変数のときと同様に、θ の固有空間 は斉次多項式 全体による空間である。
参考文献 [ 編集 ] Watson, G.N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions (Cambridge mathematical library ed., [Nachdr. der] 2. ed. ed.). Cambridge: Univ. Press. ISBN 0521483913 関連項目 [ 編集 ]
[[Category:Calculus]]
[[Category:Differential operators]]
