利用者:風船

風船（ふうせん）のイメージは、つかみ所のない、フワフワ。もちろん、紐が付いていないもの。 紐とは既成概念のことであり、特に「専門家」と言われる人々を信用しない。 ただし、軽視もしない。

注目

• 反数、逆数、単位元、逆元、零元、負の数、符号関数
• 加法、減法、乗法、除法、総和、総乗、空和、空積、階乗
• 自然数、整数、有理数、分数、実数、小数、複素数
• べき乗、0の0乗、指数関数、対数関数、二項定理

• en:extended real number

0⁰ の色々

0 の定義

集合 X の任意の元を x とするとき、

x + 0 = 0 + x = x

を満たす元を 0 と定義する。 0 は、加法 + の単位元である。

0 + 0 = 0

であるから、0 は唯一の存在である。

乗法 × との間で分配法則が成り立つとき、

x × x = x × (x + 0) = x × x + x × 0

x × x = (x + 0) × x = x × x + 0 × x

であるから、x × 0 = 0 × x = 0 である。

べき乗の定義

集合 X の任意の元を x とする。べき乗は p を正の整数とするとき、

x¹ = x,

x^p+1 = x^p × x.

と定義される。 p と q を正の整数とするとき、

x¹⁺¹ = x¹ × x¹

であり

x^p+q+1 = x^p+1 × x^q = x^p × x^q+1

であるから

x^p+q = x^p × x^q

となることが言える。これを指数法則という。 また、べき乗の定義において x を x^p に置き換えると

(x^p)¹ = x^p = x^p×1,

(x^p)^(q+1) = (x^p)^q × x^p = x^p×(q+1).

となるので

x^p×q = (x^p)^q

である。これも指数法則という。

単位元と逆元の定義

集合 X の任意の元を x とするとき、

x × 1 = 1 × x = x

を満たす元を 1 と定義する。 1 は、乗法 × の単位元である。

1 × 1 = 1

であるから、1 は唯一の存在である。 指数法則において 0 の指数を考えると、

x^p+0 = x^p × x⁰

x⁰⁺⁰ = x⁰ × x⁰

であるから

x⁰ = 1

と定義すれば、指数法則は 0 を含むように拡張される。

集合 X の元 x に対し

x × y = y × x = 1

となる元 y を x の逆元と定義する。

y × x × y = y

であるから、逆元は唯一の存在である。 指数法則において負の指数を考えると、

x^p-p = x^p × x^-p = 1

であるから

x^-p は x^p の逆元

と定義すれば、指数法則は負を含むように拡張される。

級数展開

二項定理によれば、指数関数を実数 x と y による級数で表すと

$(1+x)^{y}=\sum _{k=0}^{\infty }{y \choose k}x^{k}=1+yx+y(y-1)/2!x^{2}+\cdots$

となる。ただし |x| < 1 である。 x = -1 とした場合は

$0^{y}=\sum _{k=0}^{\infty }{y \choose k}(-1)^{k}=1-y+y(y-1)/2!-\cdots$

となる。ここで

$a_{n}=y(y-1)\dots (y-n+1)/n!$

と置き、第ｎ項を $(-1)^{n}a_{n}$ で表すと

$\lim _{n\to \infty }-a_{n}/a_{n-1}=\lim _{n\to \infty }-(y-n+1)/n=1$

$\lim _{n\to \infty }n(-a_{n}/a_{n-1}-1)=-y-1$

であるからラーベの収束判定法により y > 0 なら収束する。 さらにアーベルの定理を使えば

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\lim _{x\to -1+0}(1+x)^{y}=0^{y}=0$

となる。よって、級数で表した場合も

0^y = 0 (y > 0)

を得る。また y = 0 の場合は元式より

0⁰ = 1

となる。

符号関数 sgn(x) は、以下のような手順により級数展開できる。

f₀(x) = 0

f₁(x) = f₀(x) + C₁x!/(x-1)!/1!

C₁ = 1-f₀(1)

f₂(x) = f₁(x) + C₂(x+1)!/(x-2)!/3!

C₂ = 1-f₁(2)

sgn(x) = f_∞(x)

0 のべき乗

べき乗の定義から

0¹ = 0

0² = 0¹ × 0 = 0

$\cdots$

であり、正の整数 n に対して 0ⁿ = 0 となる。 正の整数を m, n で表すなら

0^m+n = 0^m × 0ⁿ

となり、指数法則が成り立つ。

もし、すべての整数で指数法則が成り立つなら

0⁰ = 0^-1 × 0¹ = 0

0^-1 = 0^-1 × 0⁰ = 0

0^-2 = 0^-1 × 0^-1 = 0

$\cdots$

であるから、整数 n に対して 0ⁿ = 0 となる。

ところで、0^-1 は 0 の逆数を意味する。 これは先の結果に反するから、負の整数を含んだ指数法則は否定される。 この時、0^-2 以降を求める手段は存在しない。 つまり 0^-2 が 0 の逆数ですらないことを意味する。 もし、整数 n に対して

0^-n = (0ⁿ)^-1

と定義するなら、負の整数 n での 0ⁿ はすべて 0 の逆数を意味する。

0⁰ の値

指数法則により

x^p+q = x^p × x^q

という関係が成立する。指数を 0 とするなら

x⁰ × x⁰ = x⁰

となる。この式を満足する x⁰ の値は 1 または 0 である。 指数が正と負の数は互いの逆数になるので

x^-p = (x^p)^-1

という関係が成立する。指数を 0 とするなら

x⁰ = (x⁰)^-1

となる。この式を満足する x⁰ の値は 1 または -1 である。 この両方が x = 0 の場合も成立すると考えるならば、 0⁰ = 1 である。

0⁰ = 1 と定義する場合、 x が 0 でなければ x⁰ = 1 であったので、合わせて

x⁰ = 1

となる。 また、

x¹ = x⁰ × x = x

となるため x¹ = x という規則は不要である。 よって、べき乗の定義は

x⁰ = 1,

xⁿ⁺¹ = xⁿ × x   (n ≥ 0).

へと修正されることになる。

0⁰ とは何も掛けないこと

実数 a の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の a を掛け合わせたものである。

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=a$

として総乗を使って表すなら

$a^{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}$

となる。 0 乗を定義するなら、n=0 としてやれば良いが、これは空積であるから

$a^{0}=\prod _{k=1}^{0}a_{k}=1$

となる。さらに、上の結果は a には無関係なので

$0^{0}=1$

という結果が得られる。