/M-1グランプリ詳細
△ABCの∠A,∠B,∠Cの対辺,辺BC,辺CA,辺ABの長さをそれぞれ
,
,
とし,∠Aから辺BCに下ろした垂線の長さを
とする。このとき,△ABCの面積を
とすると,
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ah}{2}}={\frac {ab}{2}}\sin C={\frac {ab}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\times {\frac {-(a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2})}{2ab}}}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\times {\frac {-\{(a-b)^{2}-c^{2}\}}{2ab}}}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {{\frac {(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}}\times {\frac {-(a-b+c)(a-b-c)}{2ab}}}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {{\frac {(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}}\times {\frac {(a-b+c)(-a+b+c)}{2ab}}}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {\frac {(a+b+c)\{(a+b+c)-2c\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2a\}}{4a^{2}b^{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}\times {\frac {(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{4a^{2}b^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {(a+b+c)-2a}{2}}\times {\frac {(a+b+c)-2b}{2}}\times {\frac {(a+b+c)-2c}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1981f157e7f12351db67b162d929dc2aec6bf77b)
となる。ここで,
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a98dac5681f383514fc1bd5b4d8e561a3fd21)
とすると,
![{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6596e9344ada420302022229b1d8122cc7a3141c)
が得られる。
積の第
次導関数[編集]
関数
の導関数を求めていくと,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\y''&=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)\\y'''&=f'''(x)g(x)+3f''(x)g'(x)+3f'(x)g''(x)+f(x)g'''(x)\\y^{(4)}&=f^{(4)}(x)g(x)+4f'''(x)g'(x)+6f''(x)g''(x)+4f'(x)g'''(x)+f(x)g^{(4)}(x)\\y^{(5)}&=f^{(5)}(x)g(x)+5f^{(4)}(x)g'(x)+10f'''(x)g''(x)+10f''(x)g'''(x)+5f'(x)g^{(4)}(x)+f(x)g^{(5)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd8521fa05795f5159769e51d90dc165ff072bf)
となるから,
![{\displaystyle y^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}{\mbox{C}}_{k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)\qquad \cdots (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635f5a64840d50e37e14c9b9c386d5aef84943c5)
である。(なお,余談ではあるが(1)式は二項定理の展開式に近い。)
(1)式を用いて関数
(
,
は定数)の第
次導関数を求める。
,
とおくと,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}{\mbox{C}}_{k}(\sin \alpha x)^{(n-k)}(\cos \beta x)^{(k)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}{\mbox{C}}_{k}\cdot \alpha ^{n-k}\sin \left(\alpha x+{\frac {(n-k)\pi }{2}}\right)\cdot \beta ^{k}\cos \left(\beta x+{\frac {k\pi }{2}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}\alpha ^{n-k}\beta ^{k}{}_{n}{\mbox{C}}_{k}\sin \left(\alpha x+{\frac {(n-k)\pi }{2}}\right)\cos \left(\beta x+{\frac {k\pi }{2}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4dadb0e4cfb2c67231d72110ba9067eea5fcc66)
となる。しかし,
,
とおいて積を和に直すと,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{(n)}&=\left\{{\frac {1}{2}}(\sin Ax+\sin Bx)\right\}^{(n)}\\&={\frac {1}{2}}\{(\sin Ax)^{(n)}+(\sin Bx)^{(n)}\}\\&={\frac {1}{2}}\left\{A^{n}\sin \left(Ax+{\frac {n\pi }{2}}\right)+B^{n}\sin \left(Bx+{\frac {n\pi }{2}}\right)\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fb027b6897ab0f95234b39f73e276ec537fc52)
となるから,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{(n)}&=(\sin \alpha x\cos \beta x)^{(n)}\\&=\sum _{k=0}^{n}\alpha ^{n-k}\beta ^{k}{}_{n}{\mbox{C}}_{k}\sin \left(\alpha x+{\frac {(n-k)\pi }{2}}\right)\cos \left(\beta x+{\frac {k\pi }{2}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left\{(\alpha +\beta )^{n}\sin \left((\alpha +\beta )x+{\frac {n\pi }{2}}\right)+(\alpha -\beta )^{n}\sin \left((\alpha -\beta )x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7665a9de18af3d7c16f6a8fd4ddf31355540592b)
である。(見た目は全然違うけどw)
±1,±
の2〜4乗根を求める[編集]
1の平方根[編集]
⇔
⇔
⇔ ![{\displaystyle (x+1)(x-1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acf4cd1504062d9d093ead53e724c65606dbeee)
- ∴
±![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
-1の平方根[編集]
⇔
⇔
⇔ ![{\displaystyle (x+i)(x-i)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611af86850a2514103861b4b9c74468cc2168220)
- ∴
±![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
1の立方根[編集]
⇔
⇔
⇔ ![{\displaystyle (x-1)(x^{2}+x+1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261ecaa4bea7572bafd388e79b5f3b213d0f22c1)
- ∴
![{\displaystyle x=1,-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3b7b3c6630b58ae6112a438f097566b813ee89)
-1の立方根[編集]
⇔
⇔
⇔ ![{\displaystyle (x+1)(x^{2}-x+1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef46245630ad826c9027d619d950fe0b373504e4)
- ∴
![{\displaystyle x=-1,{\frac {1}{2}}\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5477998c9232911bfbd02c20e37dc3122bd7f5)
1の4乗根[編集]
⇔
⇔
⇔
⇔ ![{\displaystyle (x^{2}-i^{2})(x^{2}-1^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b495b88f9baea8e216e744ab00ea48feca0f7d55)
- ⇔
⇔ ![{\displaystyle (x+1)(x-1)(x+i)(x-i)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7210467a1ee75371788f793512aadba4492607c5)
- ∴
±
,±![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
-1の4乗根[編集]
⇔
OR ![{\displaystyle \{(a+bi)^{2}\}^{2}=(-i)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b4a666eb07fc4eacf165d4d69cbd6a2dceb002)
- ⇔
OR ![{\displaystyle (a+bi)^{2}=-i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7920745b30c7893df0efe6b599afa713c1700614)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\mp {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3456bb40b42b5c79f998c5715a2bd863820131)
- ※複合同順。
及び
に関しては下記参照。
の平方根[編集]
⇔
⇔
AND ![{\displaystyle 2ab=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb4cdb958627d3f347d7b78efbb747118ceaa7d)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c95d61ad28649f3d7b1dbcc912006c6a07e96b0)
- ※複合同順。
の平方根[編集]
⇔
⇔
AND ![{\displaystyle 2ab=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e6e4b46512422d23c319e9b5f6e119d29fec2a)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\mp {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77e2256891f49295d2ad4d6aebba50e970e1bf)
- ※複合同順。
の立方根[編集]
⇔
⇔
AND ![{\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2638a5c1343bbd4f93c148fd4d45d4df5513b101)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=(0,-1),\left(\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d704c0614eb5f4c8bcb88e931f9bbb56c1d3328d)
の立方根[編集]
⇔
⇔
AND ![{\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f3f7c3db903b98377dce020122095fc67b54bf)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=(0,1),\left(\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d389bb9ed284d17f62fa725a42def8323cabb0)
の4乗根[編集]
⇔ ![{\displaystyle \{(a+bi)^{2}\}^{2}=(i^{1/2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed381848de04bccc025867604b6373d60962f1cd)
- ⇔
OR ![{\displaystyle \{(a+bi)^{2}\}^{2}=\left(-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f06cd04221d8eafb6e3e163246570c09c8db3e1)
- ⇔
OR ![{\displaystyle (a+bi)^{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7ad6e699b2e806853b8fadec06d93443dc49d2)
- ⇔
AND ![{\displaystyle 2ab={\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878f519eced3d6e8bdd5f06393f1cf6281aae029)
- OR
AND ![{\displaystyle 2ab=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048e50faaa497d033fa4787236409020e17d3f2d)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=\left(\pm {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}},\mp {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e57d78418d39e309a8daa611a81dbe6b44270fc)
- ※複合同順。
の4乗根[編集]
⇔ ![{\displaystyle \{(a+bi)^{2}\}^{2}=\{(-i)^{1/2}\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8103efb626d486fedfe8a59bbfaf6f1eeefb7667)
- ⇔
OR ![{\displaystyle \{(a+bi)^{2}\}^{2}=\left(-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8944add806e837c9b4cd6f3fd612ed5f1ac478f0)
- ⇔
OR ![{\displaystyle (a+bi)^{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc4ec96a33190c4d77cd0676fc61be87f368c54)
- ⇔
AND ![{\displaystyle 2ab=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048e50faaa497d033fa4787236409020e17d3f2d)
- OR
AND ![{\displaystyle 2ab={\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878f519eced3d6e8bdd5f06393f1cf6281aae029)
- ∴
![{\displaystyle (a,b)=\left(\pm {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}},\mp {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66f465a70e8d7575d42acbe6cff8df0fe71cf16)
- ※複合同順。
複素数の
乗根を求める[編集]
±1,±
の2〜4乗根をまとめると以下のようになる。
1の平方根 |
±
|
-1の平方根 |
±
|
の平方根 |
|
の平方根 |
|
1の立方根 |
|
-1の立方根 |
|
の立方根 |
|
の立方根 |
|
1の4乗根 |
± ,±
|
-1の4乗根
|
|
の4乗根
|
|
の4乗根
|
|
これは,次のように表すことも出来る。
1の平方根 |
![{\displaystyle \cos(180k)^{\circ }+i\sin(180k)^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65747ad0ec993fb92220cdb979fc1b28f6be3a3b) |
|
-1の平方根 |
|
の平方根 |
|
の平方根 |
|
1の立方根 |
![{\displaystyle \cos(120k)^{\circ }+i\sin(120k)^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d5247af8664e824d542e3763848da49b25481f) |
|
-1の立方根 |
|
の立方根 |
|
の立方根 |
|
1の4乗根 |
![{\displaystyle \cos(90k)^{\circ }+i\sin(90k)^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa73265e689964859873518e960ced7421fde6c) |
|
-1の4乗根 |
|
の4乗根 |
|
の4乗根 |
|
以上より,±1,±
の
乗根は次のようになる。
1の 乗根 |
![{\displaystyle \cos \left({\frac {360}{n}}k\right)^{\circ }+i\sin \left({\frac {360}{n}}k\right)^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d9c7f978ba4f16b7ac258fb4c7777308843b34) |
|
-1の 乗根 |
|
の 乗根 |
|
の 乗根 |
|
更に,一般に複素数
の
乗根は次のように表される。
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos {\frac {\arg z+2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\arg z+2k\pi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc5f6269b59c33732e485204d75a0f3eefe4c1c)
- ∵
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|e^{i(\arg z+2k\pi )}}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\{\cos(\arg z+2k\pi )+i\sin(\arg z+2k\pi )\}^{1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d28bef14296a80be95b1d847fb3dc7fc1089de6)
ただし,
であり,偏角
は次のように場合分けされる。
![{\displaystyle \arg z={\begin{cases}\tan ^{-1}(b/a)&({\mbox{if }}a>0)\\\pi /2&({\mbox{if }}a=0,b>0)\\{\mbox{undefined}}&({\mbox{if }}a=0,b=0)\\3\pi /2&({\mbox{if }}a=0,b<0)\\\tan ^{-1}(b/a)+\pi &({\mbox{if }}a<0)\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecc49b14bbb81504e872b3686352028d8760179)