双球座標系の図。双極座標系 の2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させることによって得られる。焦点は (x , y , z ) = (0, 0, ±1)。赤、青、 黄はそれぞれ σ = π/4、τ = 1/2、φ = π/3 の等値面である。黒の点は等値面の交点で、 (x , y , z ) ≈ (0.841, -1.456, 1.239) である。 双球座標系 は3次元の直交座標系 の一つで、2次元の双極座標系 を、2つの焦点 を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
±
a
)
{\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}
x
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
cos
ϕ
,
y
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
sin
ϕ
,
z
=
a
sinh
τ
cosh
τ
−
cos
σ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}}
逆変換は
σ
=
arccos
(
r
2
−
a
2
Q
)
,
τ
=
arsinh
(
2
a
z
Q
)
,
ϕ
=
arctan
(
y
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\frac {r^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\frac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctan} \left({\frac {y}{x}}\right),\end{aligned}}}
で、
R
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
Q
=
(
R
2
+
a
2
)
2
−
(
2
a
z
)
2
{\displaystyle Q={\sqrt {(R^{2}+a^{2})^{2}-(2az)^{2}}}}
σ
{\displaystyle \sigma }
(
0
,
0
,
±
a
)
{\displaystyle (0,0,\pm a)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
z 軸上で不定となる。
各座標の範囲は
σ
∈
[
0
,
π
]
,
τ
∈
(
−
∞
,
∞
)
,
ϕ
∈
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &\in [0,\pi ],\\\tau &\in (-\infty ,\infty ),\\\phi &\in [0,2\pi )\end{aligned}}}
である。
σ
{\displaystyle \sigma }
(
x
2
+
y
2
−
a
cot
σ
)
2
+
z
2
=
a
2
sin
2
σ
{\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}
で表される。
0
<
σ
<
π
/
2
{\displaystyle 0<\sigma <\pi /2}
π
/
2
<
σ
<
π
{\displaystyle \pi /2<\sigma <\pi }
σ
=
π
/
2
{\displaystyle \sigma =\pi /2}
σ
=
0
,
π
{\displaystyle \sigma =0,\pi }
z 軸の
|
z
|
≥
a
{\displaystyle |z|\geq a}
|
z
|
≤
a
{\displaystyle |z|\leq a}
τ
{\displaystyle \tau }
x
2
+
y
2
+
(
z
−
a
coth
τ
)
2
=
a
2
sinh
2
τ
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}
で、
0
<
|
τ
|
<
∞
{\displaystyle 0<|\tau |<\infty }
τ
=
0
{\displaystyle \tau =0}
xy 平面、
τ
=
±
∞
{\displaystyle \tau =\pm \infty }
(
0
,
0
,
±
a
)
{\displaystyle (0,0,\pm a)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
y
=
x
tan
ϕ
{\displaystyle y=x\tan \phi }
である。
双球座標系のヤコビ行列 は
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
=
a
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
2
[
(
cos
σ
cosh
τ
−
1
)
cos
ϕ
sin
σ
sinh
τ
cos
ϕ
−
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
sin
σ
cos
ϕ
(
cos
σ
cosh
τ
−
1
)
sin
ϕ
sin
σ
sinh
τ
sin
ϕ
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
sin
σ
sin
ϕ
sin
σ
sinh
τ
−
cos
σ
cosh
τ
+
1
0
]
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\sigma ,\tau ,\phi )}}={\frac {a}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}(\cos \sigma \cosh \tau -1)\cos \phi &\sin \sigma \sinh \tau \cos \phi &-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \cos \phi \\(\cos \sigma \cosh \tau -1)\sin \phi &\sin \sigma \sinh \tau \sin \phi &(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \sin \phi \\\sin \sigma \sinh \tau &-\cos \sigma \cosh \tau +1&0\\\end{bmatrix}}}
である。したがって計量テンソル は
g
=
a
2
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
2
[
1
0
0
0
1
0
0
0
sin
2
σ
]
{\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}}
である。
これより、微小体積要素は
d
V
=
d
σ
d
τ
d
ϕ
a
3
sin
σ
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
3
{\displaystyle dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}}
となる。また、ラプラシアン は以下で与えられる：
∇
2
f
=
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
3
a
2
[
1
sin
σ
∂
∂
σ
(
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
∂
f
∂
σ
)
+
∂
∂
τ
(
1
cosh
τ
−
cos
σ
∂
f
∂
τ
)
+
1
sin
2
σ
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
∂
2
f
∂
ϕ
2
]
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]}
双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式 である。双球座標系でラプラス方程式 を変数分離 することはできるが、ヘルムホルツ方程式 は分離できない。たとえば、2つの導体 球がつくる電場 を双球座標系で解くことができる。
Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I . New York: McGraw-Hill. pp. 665–666 Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers . New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59-14456 Zwillinger D (1992). Handbook of Integration . Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 113. ISBN 0-86720-293-9 Moon PH, Spencer DE (1988). “Bispherical Coordinates (η, θ, ψ)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp. 110–112 (Section IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &\in [0,\pi ],\\\tau &\in (-\infty ,\infty ),\\\phi &\in [0,2\pi )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ff8307896129069252df646c2b401a0e678bbc)
![{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c72fa19dd5982adabd0fc7003833f841cdba0d2)