利用者:Bethlehem4/sandbox

離散フーリエ変換表

表中で、

$W=e^{-i{\frac {2\pi }{N}}}$

また、特に指定の無い場合は、

$k=0,...,{N-1}$

$n=0,...,{N-1}$

とする。

時間領域	周波数領域	備考
$x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}W^{-kn}$	$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}W^{kn}$	IDFT,DFTのWを使った定義
$x_{n}$	$X_{k}$	定義
$y_{n}$	$Y_{k}$	定義
$ax_{n}+by_{n}$	$aX_{k}+bY_{k}$	線形性
$x_{n}{e^{i{\frac {2\pi {mn}}{N}}}}$	$X_{k-m}$	時間軸変調、周波数軸移動
$x_{n-m}$	$W^{mk}X_{k}$	時間軸移動（正）
$x_{n+m}$	$W^{-mk}X_{k}$	時間軸移動（負）
$\sum _{m=0}^{N-1}{x_{m}}{y_{n-m}}$	$X_{k}Y_{k}$	時間軸畳み込み、周波数軸積
$x_{n}y_{n}$	${\frac {1}{N}}\sum _{m=0}^{N-1}X_{m}Y_{k-m}$	時間軸積、周波数軸畳み込み
$x_{n}^{*}$	$X_{N-k}^{*}$	時間軸共役、周波数軸反転
$x_{N-n}^{*}$	$X_{k}^{*}$	時間軸反転、周波数軸共役
$real(x_{n})$	$X_{k}^{even}={\frac {1}{2}}(X_{k}+X_{N-k}^{*})$	時間軸実部、周波数軸偶関数
$imag(x_{n})$	$X_{k}^{odd}={\frac {1}{2i}}(X_{k}-X_{N-k}^{*})$	時間軸虚部、周波数軸奇関数
$x_{n}^{even}={\frac {1}{2}}(x_{k}+x_{N-k}^{*})$	$real(X_{k})$	時間軸偶関数、周波数軸実部
$x_{n}^{odd}={\frac {1}{2i}}(x_{k}-x_{N-k}^{*})$	$imag(X_{k})$	時間軸奇関数、周波数軸虚部
$a^{n}\,$	${\frac {1-a^{N}{W}^{kn}}{1-{a}W^{k}}}$	べき乗
${N-1 \choose n}\,$	$(1+W^{k})^{N-1}\,$	組み合わせ