利用者:Calamari-dev/sandbox

特徴

• 電荷点と拘束点の選択に不定性がある。これらの決定法として天野の方法が知られている。
• 線型結合に定数関数を加えることで、物理的に自然な近似解を構成できることが室田により示されている。
• 代用電荷法はラプラス方程式への適用例が多いが、より一般に定数係数楕円型偏微分方程式であれば同様の近似を考えられる。これまでに、ポアソン方程式や修正ヘルムホルツ方程式について性質が調べられている。

変種

室田の不変スキーム

室田の不変スキームは、対数ポテンシャルの線型結合に定数項Q₀を加えた近似解 $$u_{N}({\boldsymbol {x}})=Q_{0}-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\log \left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {s}}_{i}\right|$$ を、拘束条件に $$\sum _{i=1}^{N}Q_{i}=0$$ という制約を追加して構成する手法である。

ラプラス方程式の解は座標系のスケール変換x → axと境界条件の平行移動f(x) → f(x) + cに対して不変だが、通常の代用電荷法で構成される近似解は不変にならない。室田の不変スキームで構成される近似解は、この不変性を満たす点に特徴がある。

参考文献

• 天野要 (1990). “代用電荷法に基づく双方向的な数値等角写像の方法”. 数理解析研究所講究録 (京都大学数理解析研究所) 717: 44-57. hdl:2433/101775. 
• Ei, S.-I.; Ochiai, H.; Tanaka, Y. (2022). “Method of fundamental solutions for Neumann problems of the modified Helmholtz equation in disk domains”. J. Comput. Appl. Math. 402: 113795. doi:10.1016/j.cam.2021.113795. 
• 室田一雄 (1993). “代用電荷法におけるスキームの「不変性」について”. 情報処理学会論文誌 34 (3): 533-535. 
• 岡本久 (1997). “ポテンシャル問題の数値解法”. 数理解析研究所講究録 (京都大学数理解析研究所) 1016: 58-67. hdl:2433/61628.