ハイパー演算列 （英 : hyperoperation sequence ）とは、ハイパー演算（英 : hyperoperation ）と呼ばれる算術演算からなる無限列である。この列は単項演算である後者関数 （0番目）から始まり、さらに二項演算である加法 （1番目）・乗法 （2番目）・冪乗 （3番目）が続く。冪乗以降の n 番目の演算はクヌースの矢印表記 によって n - 2 個の矢印を用いて表記できる。各々のハイパー演算は、一つ前のハイパー演算によって再帰的に表すことができる。
a
↑
m
b
=
a
↑
m
−
1
(
a
↑
m
−
1
(
a
↑
m
−
1
(
.
.
.
(
a
↑
m
−
1
(
a
↑
m
−
1
a
)
)
.
.
.
)
)
)
⏟
b
(
m
≥
0
)
{\displaystyle a\uparrow ^{m}b=\underbrace {a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(...(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}a))...)))} _{\displaystyle b}\quad (m\geq 0)}
ハイパー演算列 とは二項演算
H
n
(
a
,
b
)
:
(
N
0
)
3
→
N
0
{\displaystyle H_{n}(a,b):\left({\mathbb {N} }_{0}\right)^{3}\rightarrow {\mathbb {N} }_{0}}
H
n
(
a
,
b
)
=
{
b
+
1
if
n
=
0
a
if
n
=
1
,
b
=
0
0
if
n
=
2
,
b
=
0
1
if
n
≥
3
,
b
=
0
H
n
−
1
(
a
,
H
n
(
a
,
b
−
1
)
)
otherwise
{\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1,b=0\\0&{\text{if }}n=2,b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}\,\!}
ここで、
n
=
0
{\displaystyle n=0}
a
{\displaystyle a}
H
0
(
a
,
b
)
{\displaystyle H_{0}(a,b)}
単項演算 （後者関数 ）となることに注意。
n
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle n=0,\,1,\,2,\,3}
H
n
(
a
,
b
)
{\displaystyle H_{n}(a,b)}
後者関数 、加法 、乗法 、冪乗 ）となる。
H
0
(
a
,
b
)
=
b
+
1
H
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
H
2
(
a
,
b
)
=
a
⋅
b
H
3
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1\\H_{1}(a,b)&=a+b\\H_{2}(a,b)&=a\cdot b\\H_{3}(a,b)&=a^{b}\end{aligned}}}
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
H
n
(
a
,
b
)
{\displaystyle H_{n}(a,b)}
クヌースの矢印表記 によって次のように表せる。
H
4
(
a
,
b
)
=
a
↑
2
b
H
5
(
a
,
b
)
=
a
↑
3
b
⋮
⋮
H
n
(
a
,
b
)
=
a
↑
n
−
2
b
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow ^{2}b\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow ^{3}b\\{\vdots \quad }&~{\qquad \vdots }\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b\\{\vdots \quad }&~{\qquad \vdots }\end{aligned}}}
矢印表記は、ハイパー演算列と2だけずらして対応付けることで、
↑
−
1
,
↑
−
2
{\displaystyle \uparrow ^{-1},\,\uparrow ^{-2}}
H
n
(
a
,
b
)
=
a
↑
n
−
2
b
(
n
≥
0
)
{\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b\quad (n\geq 0)}
ハイパー演算は、「加法 ・乗法 ・冪乗 の後に続く演算は何か」という問いへの解答と見ることができる。基本的な算術演算の間の関係を次に示した。これらと同様にしてより高次の演算を自然に定義することができる。
a
+
(
b
+
1
)
=
1
+
(
a
+
b
)
a
×
(
b
+
1
)
=
a
+
(
a
×
b
)
a
↑
(
b
+
1
)
=
a
×
(
a
↑
b
)
a
↑
2
(
b
+
1
)
=
a
↑
(
a
↑
2
b
)
{\displaystyle {\begin{matrix}a&+&(b+1)&=&1&+&(a&+&b)\\a&\times &(b+1)&=&a&+&(a&\times &b)\\a&\uparrow &(b+1)&=&a&\times &(a&\uparrow &b)\\a&\uparrow ^{2}&(b+1)&=&a&\uparrow &(a&\uparrow ^{2}&b)\end{matrix}}}
各々のハイパー演算の変数は、しばしば冪乗の言葉を用いて表される。[ 1]
a
{\displaystyle a}
底 （英 : base ）、
b
{\displaystyle b}
指数 （英 : exponent, hyperexponent ）[ 2]
n
{\displaystyle n}
階数 （英 : rank, grade ）[ 3]
ハイパー演算は「一つ下の演算を繰り返すことでより高次になっていくような、数の混ぜ合わせ方」と言うことができる。後者関数 ・加法 ・乗法 ・冪乗 のコンセプトは全てハイパー演算である。後者関数は一番最初のハイパー演算であり、与えられた数を1増やすものである。加法は指定された回数だけ後者関数を反復するものである。乗法は指定された回数だけ加法を繰り返すものである。冪乗は指定された回数だけ乗法を繰り返すものである。
ハイパー演算に関する最初の考察は1914年のアルバート・ベネットによるものである。彼は「可換ハイパー演算」（英 : commutative hyperoperations ）の理論のいくつかを発展させた。その約12年後、ヴィルヘルム・アッカーマン は
ϕ
(
a
,
b
,
n
)
{\displaystyle \phi (a,b,n)}
1947年にグッドスタイン は論文において、現在ハイパー演算 と呼ばれている一連の演算を導入した。そして冪乗（三番目）より先の拡張演算に対して、ギリシャ語の数詞からテトレーション （四番目）、ペンテーション （五番目）、と以下同様に続く名前を考案した。
以下はハイパー演算子を表すのに使われてきた表記の一覧である。
名称
表記（
H
n
(
a
,
b
)
{\displaystyle H_{n}(a,b)}
説明
クヌースの矢印表記
a
↑
n
−
2
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b\,\!}
ドナルド・クヌース による[ 4] n ≥ 3[ 5] [ 6]
グッドスタインの表記
G
(
n
,
a
,
b
)
{\displaystyle G(n,a,b)\,\!}
ルーベン・グッドスタイン による。[ 7]
元々のアッカーマン関数
ϕ
(
a
,
b
,
n
−
1
)
for
1
≤
n
≤
3
ϕ
(
a
,
b
−
1
,
n
−
1
)
for
n
≥
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}\,\!}
ヴィルヘルム・アッカーマン による。[ 8]
アッカーマン・ペーテル関数
A
(
n
,
b
−
3
)
+
3
for
a
=
2
{\displaystyle A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2\,\!}
底が2のときのハイパー演算を表すことができる。
ナンビアールの表記
a
⊗
n
−
1
b
{\displaystyle a\otimes ^{n-1}b\,\!}
ナンビアールによる。[ 9]
箱表記
a
n
b
{\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b\,\!}
ルブツォフとロメリオによる。[ 10] [ 1]
上付き添字表記
a
(
n
)
b
{\displaystyle a{}^{(n)}b\,\!}
ロバート・ムナフォ による。[ 11]
下付き添字表記
a
(
n
)
b
{\displaystyle a{}_{(n)}b\,\!}
ロバート・ムナフォにより下付きハイパー演算の表記に使用。[ 11]
オペレーター表記
a
O
n
−
1
b
{\displaystyle aO_{n-1}b\,\!}
ジョン・ダナー とアルフレト・タルスキ により拡張演算の表記に使用。[ 12]
角括弧表記
a
[
n
]
b
{\displaystyle a[n]b\,\!}
インターネット上の多くのフォーラムで使用される。ASCII 文字のみによる表記。
コンウェイのチェーン表記
a
→
b
→
(
n
−
2
)
{\displaystyle a\to b\to (n-2)}
ジョン・ホートン・コンウェイ による。
バウアーズの拡張配列表記 （英語版 ）
{
a
,
b
,
n
−
2
,
1
}
{\displaystyle \{a,b,n-2,1\}}
ジョナサン・バウアーズによる。
1928年、ヴィルヘルム・アッカーマン は
^ a b
G. F. Romerio (2008年1月21日). “Hyperoperations Terminology ”. Tetration Forum . 2009年4月21日 閲覧。
^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「galidakis」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません ^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「bennett」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません ^ Donald E. Knuth (Dec 1976). “Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness” . Science 194 (4271): 1235–1242. doi :10.1126/science.194.4271.1235 . PMID 17797067 . http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/194/4271/1235 2009年4月21日 閲覧。 ^ Daniel Zwillinger (2002). CRC standard mathematical tables and formulae, 31st Edition . CRC Press. pp. 4. ISBN 1-58488-291-3 ^ Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd Edition . CRC Press. pp. 127–128. ISBN 1-58488-347-2 ^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「goodstein」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません ^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「ackOrig」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません ^ K. K. Nambiar (1995). “Ackermann Functions and Transfinite Ordinals”. Applied Mathematics Letters 8 (6): 51–53. doi :10.1016/0893-9659(95)00084-4 . ^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「romerioAck」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません ^ a b 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「munafo」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません
^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「Donner-Tarski」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません
![{\displaystyle a[n]b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60642efc5e7ae3d1167b61592164b6d321318250)
