利用者:Flightbridge/sandbox/三次方程式

（en:Cubic function oldid=705476648）

代数的解法

解の公式

一般的な三次方程式

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

の解 x_k は、これら係数によって次のように表される。

$x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+u_{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{u_{k}C}}\right)\quad (k=1,\,2,\,3)$

ここで u_k はそれぞれ 1 の三乗根

$u_{1}=1,~u_{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},~u_{3}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$

であり、C は

$C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {{\Delta _{1}}^{2}-4{\Delta _{0}}^{3}}}}{2}}}$　（#特別な場合を参照）

であり、Δ₀, Δ₁ は

${\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d\end{aligned}}$

であり、このとき

${\Delta _{1}}^{2}-4{\Delta _{0}}^{3}=-27\,a^{2}\,\Delta \ ,$

となる（Δは#根の様子の判別式）。

これらの式の平方根 √ および立方根 ³√ には、それぞれ複数あるうちのどれを選んでもよい。平方根を選び替えることは x₂ と x₃ を交換することに等しく、立方根を選び替えることは解を巡回置換することに等しい。従って、平方根と立方根の選択の自由度は解に番号を振る自由度に等しい。

今から数世紀前、ジェロラモ・カルダーノはこれと似たような式を提案した。この式は今日多くの教科書で見ることができる。

$x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b\ +\ u_{k}C\ +\ {\bar {u}}_{k}{\bar {C}}\right)$

ここで C は

${\bar {C}}={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}-{\sqrt {{\Delta _{1}}^{2}-4{\Delta _{0}}^{3}}}}{2}}}$

であり、u_k は u_k の複素共役である。またこのとき CC = Δ₀ となる。

ただし、この式はこのままでは係数 a, b, c, d がすべて実数であって、かつ式中の平方根の中身（= Δ₁² - 4Δ₀³）が非負であるような場合にしか適用できず、少々の説明を必要とする。平方根の中身が非負かつ実数であれば、その値を正の平方根として求めることができ、また式中の立方根には実数が定まることになる。そうでない場合、

カルダノの方法

以下の解法はシピオーネ・デル・フェッロとタルタリアにより発見され、1545年にジェロラモ・カルダーノが発表したものである。