利用者:Flightbridge/sandbox/解析的トーション

（en:Analytic torsion oldid=705884938）

解析的トーションの定義

M をリーマン多様体、E を M 上のベクトル束とすると、E に値をとる i 形式に対して作用するラプラシアン Δ_i が存在するので、この固有値を λ_j とおく。ここで、十分大きな s に対しゼータ関数 ζ_i を次のように定義する。この関数は任意の複素数 s へ解析接続できる。

$\zeta _{i}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}{\lambda _{j}}^{-s}$

Δ_i の行列式のゼータ正規化は次のようになる。これは形式的には、Δ_i の正の固有値 λ_j の積となっている。

$\det \Delta _{i}=\exp {\Bigl (}-\zeta _{i}^{\prime }(0){\Bigr )}$

このとき、解析的トーション T (M, E) は次のように定義される。

$T(M,E)=\exp \left(\sum _{i}(-1)^{i}i\zeta _{i}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{i}(\det \Delta _{i})^{-(-1)^{i}i/2}$

ライデマイスタートーションの定義

X を有限かつ連結なCW複体とし、基本群 π := π₁(X) と普遍被覆 ~X を持つとする。また U を X の有限次元直交 π 表示とし、さらに任意の n に対して次のようにおく。

定義

（de:Analytische Torsion oldid=143957370）

M をリーマン多様体、ρ : π₁M → O (N) を基本群の直交表現とすると、普遍被覆上への基本群の作用によって鎖複体 $C_{*}({\widetilde {M}},\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} \left[\pi _{1}M\right]}\mathbb {R} ^{N}$ は非輪状となる。

ρ に随伴する平坦ベクトル束 E は、微分形式 Λ^q (M, E) 上に作用するホッジ・ラプラシアン Δ_q が定める計量と両立する。ここで Δ_q の固有値を λ_j とし、Re(s) > N/2 に対して次のようにゼータ関数 ζ_q を定める。これは任意の s ∈ C へ解析接続できる。

$\zeta _{q}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}{\lambda _{j}}^{-s}$

また、Δ_q の行列式のゼータ正規化は次のようになる。

$\log \det(\Delta _{q})=-{\zeta _{q}}'(s)$

このとき、解析的トーションは次のように定められる。

$\log T_{M}(\rho )={\frac {1}{2}}\sum _{q}(-1)^{q}q{\zeta _{q}}'(s)$

これは次の式と同値である。

$T_{M}(\rho )=\prod _{q}\det(\Delta _{q})^{-(-1)^{q}{\frac {q}{2}}}$