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利用者:Flightbridge/sandbox/QR分解

定義[編集]

正方行列[編集]

任意の実正方行列 A に対し、次の分解を考える。

ここで Q直交行列QTQ = I を満たす)、R は上三角行列である。もし A可逆ならば、R の対角成分を正とする条件のもとこの分解は一意に定まる。

また A を複素正方行列とするならば、Qユニタリ行列Q*Q = I を満たす)とする分解 A = QR が存在する。

An 個の線型独立な列ベクトルを持つとき、Q の最初の n 列は A列空間における正規直交基底を与える。より一般に任意の k (1 ≤ kn) に対し、Q の最初の k 列は A の最初の k 列が張る部分空間における正規直交基底を与える。このように A の任意の k 列目が Q の最初の k 列にのみ依って決まるのは、R が三角行列であるためである。

矩形行列[編集]

より一般に、複素 m × n 行列 A (ただし mn)は、m × m ユニタリ行列 Qm × n 上三角行列 R の積へと分解できる。ここで m × n 上三角行列の下から (mn) はすべて零であるから、R または R, Q を次のように分割することができる。

ここで、R1n × n 上三角行列、0(mnn 零行列、Q1, Q2 はそれぞれ m × n, m × (mn) であり、Q1, Q2 はそれぞれ直交する列を持つ。

QL, RQ, LQ 分解[編集]

同様にして QL, RQ, LQ 分解を定義することができる。ただしこの L は下三角行列(: lower triangular matrix)である。